matematica de 4to a 5t0

MATEMATICA

Los estudiantes que se enfrentan al reto de asimilar los conocimientos matemáticos que se imparten en la Cuarta Etapa de Educación, requieren de fuentes alternativas al aula de clase y el libro de texto para la profundización del aprendizaje o simplemente la exploración personal. RENa ofrece en este espacio además de la presentación de los temas comprendidos en el currículo de Matemáticas vigente; una opción novedosa para la consulta y la interacción.

Una oportunidad de investigar sobre aspectos históricos, conceptuales y técnicos de los temas de Matemáticas. Oportunidad de interactuar a través de ejercicios amenos y reflexiones oportunas que ayuden a la óptima construcción del conocimiento. Incentivar al estudio de las Matemáticas a través de la presentación cuidadosa de los distintos temas, apoyada en relaciones diversas que puedan establecerse entre éstos y situaciones originadas en el estudio de fenómenos no matemáticos

En esta sección, se desarrollarán las ideas que permiten hacer una construcción clara de los Números Complejos, sus operaciones y diversas representaciones. Se hará referencia a la forma polar de un número complejo, por lo que se requiere algún dominio sobre los conceptos básicos de la Trigonometría. Por otra parte, se estudiarán las progresiones aritméticas y geométricas , sus propiedades fundamentales y aplicaciones.

Los números complejos

Un poco de Historia: La resolución de ecuaciones algebraicas ocupó a los matemáticos desde los tiempos de los antiguos egipcios y babilónicos, quienes desarrollaron métodos para resolverecuaciones lineales y cuadráticas. Estas ecuaciones, formuladas verbalmente en aquel entonces y no a través de los símbolos que hoy utilizamos, surgieron de las necesidades prácticas propias de actividades como el comercio y las finanzas por un lado y la agricultura y la medición de terrenos por el otro. El estudio de las ecuaciones lineales del tipo:

$\displaystyle x+a=b$

donde y son números naturales, reveló la necesidad de considerar a los números enteros negativos para poder asegurar la existencia de una solución en cualquier caso. Por ejemplo, la ecuación:

$\displaystyle x+10=1$

exige, para su solución, que se consideren los números negativos. Estos números fueron utilizados en India y China varios siglos antes que en Europa.

Análogamente, las ecuaciones del tipo:

$\displaystyle ax+b=c$

donde , y son números enteros, muchas veces no tienen solución entera, sino racional; por ejemplo:

$\displaystyle 3x+1=0$

Solución:

$x=\frac{-1}{3}$

El conjunto de los números naturales se va ampliando así, de manera que, para diferentes tipos de ecuaciones se pueda garantizar la existencia de una solución dentro de los conjuntos 'ampliados':

Si $\mathbb{N}$ denota el conjunto de los números naturales, $\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los números enteros y $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales, se tiene:

$\displaystyle \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$

donde el símbolo $\subset$ significa 'esta contenido en'.

Ya desde los tiempos de los pitagóricos se reconoció la existencia de números no racionales; cuando se intentó calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, con el uso del Teorema de Pitágoras.

se concluyó que , es decir, . Para la gran sorpresa y angustia de muchos, no se pudo encontrar un número de la forma $\frac{a}{b}$ , con y enteros, y $b\neq 0$ , tal que $\frac{a}{b}$ fuese solución de la ecuación:

$\displaystyle x^2=2$

La solución, que hoy denotamos por $\sqrt{2}$ , es un número irracional, como lo son una infinidad de números que son soluciones de ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 2. Se reúnen todos los números racionales y todos los irracionales para construir el conjunto $\mathbb{R}$ de todos los números reales, y se cumple que

$\displaystyle \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Ahora bien, en la resolución de ecuaciones cuadráticas, durante la Edad Media y antes, se ignoraban los casos como el siguiente:

$\displaystyle x^2+3x+10=0$

Al intentar usar la fórmula:

$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Se obtiene:

$\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{9-40}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{-31}}{2}$

Sabiendo que ningún número elevado al cuadrado es igual a , pues todo número elevado al cuadrado es positivo, algunos autores, como el famoso algebrista árabe Al-Khowarizmi, afirmaban que, en semejante situación, lo que se tenía ¡no era una ecuación!

Sin embargo, muchos años más tarde, en el siglo XVI, en pleno Renacimiento europeo, el matemático italiano Girolamo Cardano, haciendo grades esfuerzos por encontrar fórmulas para la resolución de las ecuaciones de grado 3 y de grado 4, descubrió que era útil considerar las raíces cuadradas de números negativos 'como si fueran números', y operar con ellas tal y como lo haría con números verdaderos, a pesar de que, según propias palabras, había que ser capaz de 'soportar la tortura mental' que esto significaba.

Es así como se inicia el tratamiento de los números que ahora llamamos 'complejos': como una especie de 'truco' para resolver un problema algebraico, truco que para su propio creador resultaba ser una tortura mental. Han pasado varios siglos desde entonces, y ya los números complejos no deberían representar una tortura para nadie. Han sido aceptados y debidamente estudiadas sus propiedades. Se han encontrado mútiples aplicaciones o usos de los números complejos, especialmente en la Física y particularmente en la Electricidad.

Potencias y raíces de números complejos

La operación de la potenciación en los números complejos se simplifica mucho si se recurre a la representación gráfica de estos números en el plano cartesiano. Si , se identifica a con el par ordenado y se representa como un punto en el plano cartesiano de la manera usual (ver figura de la derecha).

También puede representarse como el vector con origen en el punto y extremo en el punto . (ver figura de la izquierda)

El módulo de un número complejo se define como la longitud del vector del plano que se obtiene como su representación gráfica. Se denota: módulo de $z=\vert\vert z\vert\vert$ Si , $\vert\vert z\vert\vert=\sqrt{a^2+b^2}$ Esta representación gráfica permite obtener otra forma de determinar a un número complejo dado. Es la llamada forma trigonométrica o forma polar. Dado el número complejo , representado por el vector del plano cartesiano, se observa que ese vector queda totalmente determinado por 2 datos:

1. El ángulo $\alpha$ que forma el vector con el eje de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.

2. El módulo de $(a,b)= \vert\vert a+bi\vert\vert$

Si sólo se conoce el dato del ángulo $\alpha$ que forma un número complejo con el eje de las abscisas, sólo se sabe que dicho número será alguno de los vectores que están en la semirrecta de la figura de la izquierda.

Por otra parte, si de un número complejo , se conoce sólo el módulo, digamos $\vert\vert z\vert\vert=r$ , sólo se puede asegurar que está en lacircunferencia de radio que está centrada en el origen.

Pero si tenemos los dos datos mencionados, hay un único número complejo con esas características. Por ejemplo, si el número complejo forma un ángulo de $30^\circ$ con el eje de las abscisas y $\vert\vert z\vert\vert=2$ , entonces la representación gráfica de es la que se muestra a la izquierda.

$\displaystyle OA=\vert\vert z\vert\vert=2$

Como es un triángulo rectángulo, se sabe que:

$\displaystyle \frac{OB}{OA}=\cos{30^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Como ,

$\displaystyle OB=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}$

Por otra parte,

$\displaystyle \sen{30^\circ}=\frac{AB}{OA}$

Así,

$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{AB}{OA}$

$\displaystyle \quad\quad\frac{OA}{2}=AB$

es decir, . En otras palabras, el número complejo tiene parte real igual a $\sqrt{3}$ y parte imaginaria igual a 1:

$\displaystyle z=\sqrt{3}+i$

y efectivamente,

$\displaystyle \vert\vert z\vert\vert= \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2$

Se observa en este ejemplo lo siguiente:

$\displaystyle z=\sqrt{3}+i$

$\displaystyle \quad \sqrt{3}=2\cos{30^\circ}$

$\displaystyle 1=2\sen{30^\circ}$

Puede escribirse entonces:

$\displaystyle z=2\cos30^\circ+(2\sen30^\circ)i$

$\displaystyle \quad z=2(\cos30^\circ+i\sen30^\circ)=\vert\vert z\vert\vert(\cos30^\circ+i\sen30^\circ)$

Esta última es la llamada forma polar del número complejo . En ella quedan explícitos los datos del ángulo que forma con el eje de las abscisas y su módulo. En general, un número complejo en forma polar se escribe así:

$\displaystyle z=r(\cos\alpha+i\sen\alpha),$

donde $r\geq 0$ , $r=\vert\vert z\vert\vert$ y $\alpha$ es el ángulo que forma con el eje de las abscisas.

Para encontrar la forma polar de un número complejo a partir de su forma binómica, hay que observar lo siguiente: Si , por ser un triángulo rectángulo, se tiene:

$\displaystyle \frac{Oa}{Oz}=\cos\alpha$ y $\displaystyle \quad\quad\frac{az}{Oz}=\sen\alpha$

Pero el segmento tiene medida , tiene medida y $Oz=\vert\vert z\vert\vert$ . Así,

$\displaystyle \frac{a}{\vert\vert z\vert\vert}=\cos\alpha$

$\displaystyle \quad\quad\frac{b}{\vert\vert z\vert\vert}=\sen\alpha$

$\displaystyle \quad a=\vert\vert z\vert\vert\cos\alpha$

$\displaystyle \quad\quad b=\vert\vert z\vert\vert\sen\alpha$

Si $\alpha$ es el ángulo cuyo coseno es $\frac{a}{\vert\vert z\vert\vert}$ y cuyo seno es $\frac{b}{\vert\vert z\vert\vert}$ , entonces la forma polar de es:

$\displaystyle z=\vert\vert z\vert\vert\cos\alpha+i\vert\vert z\vert\vert\sen\alpha=\vert\vert z\vert\vert(\cos\alpha+i\sen\alpha)$

Ejemplo:

$\displaystyle z=\frac{-3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$

para determinar la forma polar de , se calcula $\vert\vert z\vert\vert$ :

$\displaystyle \vert\vert z\vert\vert=\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=3$

Luego, se escribe de la forma $z=\vert\vert z\vert\vert(c+di)$ ; en este caso:

$\displaystyle z=3\left(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

Ahora, se determina el ángulo $\alpha$ que satisface:

$\displaystyle \cos\alpha=\frac{-1}{2}$ $\displaystyle \sen\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Recurriendo al círculo trigonométrico se obtiene que $\alpha=120^\circ$ . Así, $z=3(\cos120^\circ+i\sen120^\circ)$

Potencias y raíces de un número complejo dado en forma polar: Si es un número entero positivo, y es un número complejo, dado en forma polar:

$\displaystyle z=r(\cos\alpha+i\sen\alpha)$

entonces se tiene que

$\displaystyle z^n=r^n(\cos(n\alpha)+i\sen(n\alpha))$

ésta es la llamada Fórmula de De Moivre. Por ejemplo, si $z=2(\cos60^\circ+i\sen60^\circ)$ entonces,

$\displaystyle z^4=2^4(\cos(4\cdot 60^\circ)+i\sen(4\cdot 60^\circ))$

$\displaystyle z^4=16(\cos240^\circ+i\sen240^\circ)$

Esta es la forma polar de . Su forma binómica se calcula así:

$\displaystyle z^4=16\left(\frac{-1}{2}+i\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\right)=-8-8\sqrt{3}i$

Si es un número complejo, el número complejo es raíz n-ésima de si , y se escribe

$\displaystyle w=z^{\frac{1}{n}}$

Usando la fórmula de De Moivre se deduce que todo número complejo $z=r(\cos{\alpha}+i\sen{\alpha})$ tiene raíces n-ésimas complejas.

Es fácil comprobar que, para cualquiera de los números complejos , para 0, 1, ... , , se cumple que

$\displaystyle (w_k)^n=(r{^\frac{1}{n}})^n\left\{\cos{\left[n\left(\frac{\alpha+... ...ight)\right]}+i\sen{\left[n\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right]}\right\}=$

$\displaystyle r[\cos{(\alpha+2k\pi)}+i\sen{(\alpha+2k\pi)}]$

Ahora, como el ángulo $(\alpha+2k\pi)$ es simplemente el ángulo $\alpha$ sumado a:

$k(2\pi)=2\pi+2\pi+...+2\pi$

( veces), en el círculo trigonométrico, $\alpha$ y $\alpha+2k\pi$ coinciden.

Eso significa que $\cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha$ y $\sen(\alpha+2k\pi)=\sen\alpha$ . Así,

$(w_k)^n=r(\cos{\alpha}+i\sen{\alpha})=z$

Es bueno notar también que todas las raíces n-ésimas de tienen el mismo módulo:

$\displaystyle \vert\vert w_0\vert\vert=r^{\frac{1}{n}}$

$\displaystyle \vert\vert w_1\vert\vert=r^{\frac{1}{n}}$

. . .

$\displaystyle \vert\vert w_{n-1}\vert\vert=r^{\frac{1}{n}}$

Esto significa que todas esas raíces son números complejos cuya representación gráfica en el plano cartesiano está en el círculo de radio $r^{\frac{1}{n}}$ . Por ejemplo, si

$\displaystyle z=27(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sen{\frac{\pi}{2}})$

tendría 3 raíces cúbicas.

Se observa que las 3 raíces están sobre el círculo de radio 3. Además, si se unen los extremos de , y mediante segmentos de recta, se obtiene un triángulo equilátero inscrito en el círculo.

Si se representan las raíces n-ésimas de un número complejo, y se unen los puntos consecutivos mediante segmentos de recta, se obtiene un polígono regular.

En la figura de la izquierda se aprecia el octágono regular que forman las 8 raíces octavas del número complejo . En forma polar, $1=1(\cos{0^\circ}+i\sen{0^\circ})$ Así, las tres primeras de las 8 raíces octavas de 1 son:

$\displaystyle w_0=\sqrt[8]{1}\left(\cos{\frac{0}{8}}+i\sen{\frac{0}{8}}\right)=1(1+i\cdot 0)=1$

$\displaystyle w_1=\sqrt[8]{1}\left(\cos{\frac{0+2\pi}{8}}+i\sen{\frac{0+2\pi}{8}}\right)=\left(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sen{\frac{\pi}{4}}\right)$

$\displaystyle w_2=\sqrt[8]{1}\left(\cos{\frac{0+4\pi}{8}}+i\sen{\frac{0+4\pi}{8}}\right)=\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sen{\frac{\pi}{2}}\right)=i$

Una manera bastante usada para abreviar la notación de un número complejo en forma polar es la siguiente: Si $z=(\cos{\alpha}+i\sen{\alpha})$ , se escribe:

$\displaystyle z=r\cdot$ cis $\displaystyle \alpha$

Por ejemplo, $z=2\left(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sen{\frac{\pi}{4}}\right)$ se escribe $z=2\cdot$ cis $\frac{\pi}{4}$

La multiplicación y la división de números complejos también se facilita con la notación en forma polar: Si cis $\alpha$ y cis $\beta$ , con $r_2\neq 0$ , entonces:

$\displaystyle z_1\cdot z_2=r_1r_2$ cis $\displaystyle (\alpha+\beta)$ y $\displaystyle \quad\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}$ cis $\displaystyle (\alpha-\beta)$

Ejemplo:

Sean

cis $\frac{\pi}{3}$ y cis $\frac{\pi}{6}$ .

Entonces:

$\displaystyle z_1z_2=(2\cdot 5)$ cis $\displaystyle \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=10$ cis $\displaystyle \frac{\pi}{2}$

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{5}$ cis $\displaystyle \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2}{5}$ cis $\displaystyle \frac{\pi}{6}$

Progresiones

Sucesiones de Números Reales: Se llama sucesión de números reales a toda función:

$\displaystyle f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}$

donde $\mathbb{N}$ denota al conjunto de los números naturales $\left(\mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, ...\}\right)$ y $\mathbb{R}$ es el conjunto de los números reales. Para cada número natural , su imagen se denota por (ó , , etc.) y se dice que es el -ésimo término de la sucesión. Por ejemplo, si $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}$ se define así:

$\displaystyle f(n)=\frac{2n}{n+1}$

en la notación de como sucesión, se escribe:

$\displaystyle a_n=\frac{2n}{n+1}$

El primer término de la sucesión se calcula sustituyendo a por 1 en la igualdad anterior:

$\displaystyle a_1=\frac{2(1)}{1+1}=1$

El segundo término es

$\displaystyle a_2=\frac{4}{3}$

El tercer término es

$\displaystyle a_3=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Para , se tiene:

$\displaystyle a_{123}=\frac{2(123)}{123+1}=\frac{246}{124}=\frac{123}{62}$

Cualquier término de la sucesión se puede calcular, pues se conoce la manera de calcular a partir de . Hay sucesiones que son definidas de otra manera: Se da el primer término, por ejemplo: . Luego, se especifica que cada término es igual al anterior más un número fijo, llamado `diferencia'. Si la diferencia en este caso es 5, se tiene:

$\displaystyle b_2=b_1+5=3+5=8$

$\displaystyle b_3=b_2+5=8+5=13$

$\displaystyle b_4=b_3+5=13+5=18$

y, en general, $b_n=b_{n-1}+5$ . Las sucesiones como ésta son llamadas progresiones aritméticas. Tienen propiedades interesantes que se mostrarán a continuación. Por ejemplo, para calcular el término -ésimo no hay una fórmula como en el caso de la sucesión anterior $\left(a_n=\frac{2n}{n+1}\right)$ . Sin embargo, usando el hecho de ser una progresión de diferencia igual a 5 y primer término igual a 3, se puede encontrar una fórmula para el cálculo del -ésimo término, . Observe lo siguiente:

Puede asegurarse que, para cualquier número natural , se cumple: $\displaystyle b_n=3+(n-1)5$ .
En otras palabras, el término -ésimo se obtiene al sumarle veces el número 5 al 3. Esto es lo que cabía esperar, pues la progresión artmética está definida así: cada término, a partir del segundo, se obtiene al sumar el anterior más 5, y el primer término es 3. Así, se ha obtenido una fórmula para calcular el -ésimo término. Por ejemplo:

$b_{15}=3+14(5)=73$

En general, si es una progresión aritmética tal que su diferencia es un número , se puede calcular su -ésimo término, conociendo

$\displaystyle s_n=(n-1)d+s_1$

Ejemplo: es una progresión aritmética tal que: $\displaystyle s_1=8$ , $\displaystyle s_2=17$ .Determinar el término décimo segundo $(s_{12})$ : Usando la fórmula, se tiene: $\displaystyle s_{12}=11(d)+s_1=11(d)+8$ .
Pero , pues . Así, Luego, $\displaystyle s_{12}=11(9)+8=107$

También puede darse el caso en que se conozcan sólo el primer término y el -ésimo término de una progresión aritmética; en base a esto se puede calcular la diferencia, y así se puede conocer cualquier otro término de la progresión; por ejemplo:

$\displaystyle c_1=1$

$\displaystyle c_{31}=151$

Como $c_{31}=30(d)+1$ , se tiene:

$\displaystyle 151=30(d)+1$

$\displaystyle 150=30(d)$

$\displaystyle d=5$

Así, , para cualquier número natural . Por otra parte, si se conocen dos términos, por ejemplo y , de una progresión aritmética, se puede descubrir cual es su diferencia y cuál es su primer término:

$\displaystyle s_k=(k-1)d+s_1$

$\displaystyle s_n=(n-1)d+s_1$

luego,

$\displaystyle s_k-s_n=[(k-1)-(n-1)]d$

Por lo tanto,

$\displaystyle d=\frac{s_k-s_n}{k-n}$

y como

$\displaystyle s_1=s_k-(k-1)d$

Es decir, conociendo y , se puede calcular .

Si completaste la tabla correctamente, felicitaciones. Continúa con tu lectura para que descubras otra propiedad curiosa acerca de las progresiones aritméticas. Si no lo lograste, revisa tus cálculos detenidamente y corrige cualquier error cometido antes de continuar.

Si se quiere conocer la suma de los primeros 100 términos de una progresión aritmética, se puede aplicar la técnica que usó el gran matemático Gauss, cuando aún era un niño, para calcular la suma de los primeros 100 números naturales. Si ( ) es una progresión aritmética y es su diferencia, puede calcularse fácilmente la suma, que llamaremos , de los 100 primeros términos:

$\displaystyle S=s_1+s_2+s_3+...+s_{100}$

tomando en cuenta que , , ..., $s_{100}=s_1+99d$ . Se comienza por sumar estos términos de la siguiente manera, para obtener :

$\displaystyle s_1+s_2+s_3+...+s_{100}$

$\displaystyle s_{100}+ s_{99}+s_{98}+...+s_{1}$

Así,

$\displaystyle s_1+s_{100}=s_1+(s_1+99d)=2s_1+99d$

$\displaystyle s_2+s_{99}=(s_1+d)+(s_1+98d)=2s_1+99d$

$\displaystyle s_3+s_{98}=(s_1+2d)+(s_1+97d)=2s_1+99d$ . . .

$\displaystyle s_{99}+s_2=(s_1+98d)+(s_1+d)=2s_1+99d$

$\displaystyle s_{100}+s_1=(s_1+99d)+s_1=2s_1+99d$

Si se suman todas las ecuaciones, miembro a miembro (son 100 sumandos), se obtiene del lado izquierdo dos veces la suma buscada: $2(s_1+s_2+...+s_{99}+s_{100})=2S$ . Por otro lado, el miembro de la derecha de cada ecuación es . Eso significa que al sumarlos, se obtiene:. Así,

$\displaystyle 2S=100(2s_1+99d)$

pero, como

$s_1+s_{100}=2s_1+99d$

tenemos finalmente:

$\displaystyle s_1+s_2+...+s_{99}+s_{100}=\frac{100(s_1+s_{100})}{2}$

Esto es válido no sólo para sumar los 100 primeros términos, sino también para sumar los primeros términos de una progresión aritmética, para cualquier número natural :

$\displaystyle s_1+s_2+...+s_n=\frac{n(s_1+s_n)}{2}$

Progresiones

Progresiones Geométricas : Una progresión geométrica es una sucesión que tiene la propiedad siguiente: existe un número real tal que cada término es igual al anterior multiplicado por . El número es llamado la razón de la progresión geométrica. Es decir, si es una progresión geométrica de razón , entonces, para cualquier $n\geq 2$ :

$\displaystyle a_n=a_{n-1}\cdot r$

Por ejemplo, la sucesión siguiente es una progresión geométrica:

$\displaystyle p_1=\frac{3}{2}$

$\displaystyle p_2=\frac{3}{4}=\frac{3}{2^2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=p_1\cdot \frac{1}{2}$

$\displaystyle p_3=\frac{3}{8}=\frac{3}{2^3}=\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=p_2\cdot\frac{1}{2}$

y así, para cualquier número natural se cumple que:

$\displaystyle p_n=\frac{3}{2^n}=\left(\frac{3}{2^{n-1}}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=p_{n-1}\cdot\frac{1}{2}$

La razón de la progresión geométrica es igual a $\frac{1}{2}$ .

Cálculo del -ésimo término de una progresión geométrica: Para calcular el -ésimo término de la progresión geométrica , se observa que:

$\displaystyle p_1=\frac{3}{2}$

$\displaystyle p_2=\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=p_1\left(\frac{1}{2}\right)$

$\displaystyle p_3=p_2\left(\frac{1}{2}\right)=p_1\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=p_1\left(\frac{1}{2}\right)^2$

En general,

$\displaystyle p_n=p_1\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Así, por ejemplo,

$\displaystyle p_{10}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^9=\frac{3}{2^{10}}$

Si es una progresión geométrica de razón , se sabe que, para cualesquiera números naturales , ,

$\displaystyle a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

$\displaystyle a_m=a_1\cdot r^{m-1}$

es decir,

$\displaystyle a_1=\frac{a_n}{r^{n-1}}$

$\displaystyle \quad\quad a_1=\frac{a_m}{r^{m-1}}$

De aquí, se obtiene $\displaystyle a_n\cdot r^{m-1}=a_m\cdot r^{n-1}$ .

Si , se puede escribir

$\displaystyle a_n=\frac{a_m\cdot r^{n-1}}{r^{m-1}}$

Aplicando las leyes de la potenciación, se obtiene:

$\displaystyle a_n=a_m\cdot r^{n-m}$

Esta fórmula relaciona dos términos cualesquiera de una progresión geométrica. Por ejemplo, si se sabe que el tercer término de una progresión geométrica es 5 y el sexto término es 135 puede determinarse la razón, usando la fórmula anterior:

$\displaystyle a_3=5$ $\displaystyle a_6=135$

$\displaystyle a_6=a_3\cdot r^{6-3}$

$\displaystyle 135=5\cdot r^3$

$\displaystyle r^3=\frac{135}{5}=27$

$\displaystyle r=3$

También puede calcularse el primer término, al conocer la razón:

$\displaystyle a_3=a_1\cdot r^2$

$\displaystyle 5=a_1\cdot 3^2$

$\displaystyle \frac{5}{9}=a_1$

Suma de los primeros términos de una progresión geométrica.
En algunos casos, es necesario calcular la suma de los primeros términos de una progresión geométrica.
Por ejemplo, una población de conejos crece de tal manera que por cada conejo hay un promedio de dos nuevos conejos en la nueva generación. Si se comienza con una población de 30 conejos y cada conejo llega a conocer a su tataranieto antes de morir, ¿Cuántos conejos habrá en la población de estudio antes de que la primera generación muera?

El siguiente diagrama nos ayuda a concebir la forma en que crece la población de conejos:

Cantidad de conejos en la primera generación	30
Cantidad de conejos de la segunda generación:	$30\cdot 2$
Cantidad de conejos de la tercera generación:	$(30\cdot 2)2=30\cdot 2^2$
Se puede observar que la cantidad de conejos después de la tercera generación es	$\displaystyle 30+30\cdot 2+30\cdot 2^2$

Se trata entonces de la suma de los primeros tres términos de la progresión geométrica , donde $\displaystyle s_1=30$ y $\displaystyle \quad\quad r=2$ .

Así, la cantidad de conejos al nacer la quinta generación será la suma de los primeros 5 términos de esa progresión. La fórmula que permite calcular con facilidad esta suma es la siguiente:

$\displaystyle S=\frac{s_1-s_1\cdot r^5}{1-r}$

Como , , :

$\displaystyle S=\frac{30-30(32)}{-1}=930$

Así, la cantidad de conejos al nacer la quinta generación será 930.

La fórmula general para calcular la suma de los primeros términos de una progresión geométrica es:

$\displaystyle S=\frac{a_1-a_1\cdot r^n}{1-r}$

donde es el primer término y es la razón. Esta fórmula se deduce de lo siguiente:

$\displaystyle S=a_1+a_1r+a_1r^2+...+a_1r^{n-1}\quad\quad\quad(1)$

por lo tanto,

$\displaystyle r\cdot S=a_1r+a_1r^2+a_1r^3+...+a_1r^n\quad\quad\quad(2)$

Restando , se obtiene

$\displaystyle S-rS=a_1-a_1r^n$

pues todos los demás términos se cancelan. Así,

$\displaystyle S(1-r)=a_1-a_1r^n$

luego,

$\displaystyle S=\frac{a_1-a_1r^n}{1-r}$

Producto de los primeros términos de una progresión geométrica.
Sea la progresión geométrica cuyo primer término es y $r=\frac{3}{2}$ . Si se quiere calcular el producto de los 8 primeros términos, se puede observar lo siguiente:

$\displaystyle a_1\cdot a_8=2^2\left(\frac{3}{2}\right)^7$

$\displaystyle a_2\cdot a_7=2^2\left(\frac{3}{2}\right)^7$

$\displaystyle a_3\cdot a_6=2^2\left(\frac{3}{2}\right)^7$

. . . $\displaystyle a_7\cdot a_2=2^2\left(\frac{3}{2}\right)^7$

$\displaystyle a_8\cdot a_1=2^2\left(\frac{3}{2}\right)^7$

Así, con un procedimiento similar al realizado cuando sumamos los primeros 100 términos de la progresión aritmética, al realizar el producto de todas las ecuaciones, miembro a miembro, se obtiene

$\displaystyle (a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7\cdot a_8)^2=\left[ 2^2\left(\frac{3}{2}\right)^7\right]^8=(a_1\cdot a_8)^8$

Es decir,

$\displaystyle a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7\cdot a_8=\sqrt{(a_1a_8)^8}$

Así,

$\displaystyle a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7\cdot a_8=\sqrt{ \left( 2^2\left( \frac{3}{2}\right) ^7\right) ^8}=\frac{3^{28}}{2^{20}}$

De manera general, se puede probar que

$\displaystyle a_1\cdot a_2\cdot \cdot\cdot a_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$



Se estudiarán los temas más relevantes del área de Geometría correspondientes al currículo de Matemática del Ciclo Diversificado, a saber: Trigonometría, con referencias históricas acerca de sus orígenes , ligados a la Astronomía antigua, Vectores en el Plano y el Espacio, con sus operaciones, Áreas y Volúmenes de figuras fundamentales y Cónicas, con sus propiedades algebraicas esenciales.

Trigonometría

La Trigonometría es un área del conocimiento matemático que tuvo sus inicios en el siglo II a.C., en Grecia, como parte del notable desarrollo que experimentaron disciplinas científicas como la Geometría y la Astronomía desde el siglo VI a.C. Los estudios del matemático y astrónomo Hiparco, considerado el Padre de la Trigonometría, marcan el surgimiento de esta disciplina. La palabra Trigonometría está compuesta de tres partes: Tri-gono-metría, derivadas del griego y que significan, respectivamente: tres, ángulo, medida. Las nociones fundamentales sobre las que se desarrolla la Trigonometría son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, en función de las medidas de sus ángulos internos. De allí su nombre. En sus orígenes, la Trigonometría estuvo asociada al estudio de la Astronomía, tanto en Grecia como en India, país del cual surgieron valiosos aportes a esta rama de la Matemática.

Introducción a la trigonometría
Los astrónomos de la Antigüedad investigaban acerca de las trayectorias de los astros más cercanos a la Tierra (la Luna, el Sol, los planetas Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno); también acerca de las distancias entre estos astros y la Tierra. Sus estudios se basaban en observaciones hechas por ellos (sin telescopios ni otros aparatos sofisticados) y en razonamientos matemáticos, específicamente geométricos. Hay muchos ejemplos ilustrativos del tipo de trabajo astronómico que se hacía en la Antigüedad. Uno de ellos es el cálculo realizado por Hiparco para determinar la distancia entre la Tierra y la Luna, descrito, a grandes rasgos, a continuación: Se representa a la Tierra con el círculo de la izquierda y la Luna con el punto de la derecha, en la ilustración de la derecha.
Se considera que el centro de la Tierra () y la Luna () están alineados con el punto , situado en el ecuador de la Tierra, y desde el cual un observador ve a la Luna en el cenit (el punto de la bóveda celeste ubicado en la perpendicular en al plano tangente a la superficie terrestre en el punto ). El punto , situado también sobre el ecuador, es el punto más alejado de , en cierta dirección fija, desde el cual se ve la Luna, en el mismo momento en que y están alineados. En otras palabras, es tangente al ecuador en , y en consecuencia, $\angle\:CQL=90^\circ$ . Hiparco calculó el ángulo $\angle\:QCP$ , a partir del conocimiento de la longitud del arco , y luego usó una propiedad de los triángulos semejantes: Si es cualquier triángulo semejante a , con $\angle\:RST=90^\circ$ y $\angle\:SRT=\angle\:QCP$ , entonces los lados homólogos son proporcionales. Es decir: $\displaystyle \frac{CQ}{CL}=\frac{SR}{RT}$
	Entre las medidas de los lados del triángulo , sólo era conocida por Hiparco; es la medida del radio de la Tierra. El triángulo es semejante a y si sus medidas son todas conocidas, cosa que ocurre siempre que se construya el triángulo a una escala manejable, se calcula usando la proporcionalidad mencionada arriba: $\displaystyle CL=\frac{CQ*RT}{SR}$
De este modo, obtuvo Hiparco una cifra cercana a las 280.000 millas para la distancia de la Tierra a la Luna, sabiendo que . Este resultado tiene un error aproximado del 16% en relación a la cifra aceptada actualmente, de 241.000 millas, para la distancia entre la Tierra y la Luna. Es muy probable que este error se deba por sobre todo a un estimado erróneo del arco . Este ejemplo muestra cómo era usada la Geometría en los cálculos astronómicos; en particular, muestra cómo la simple idea de la semejanza de triángulos permitía calcular distancias inaccesibles.

Las razones trigonométricas

En el triángulo rectángulo que se muestra a la derecha se pueden considerar las proporciones entre sus lados:

$\displaystyle \frac{AB}{BC}, \frac{AC}{BC}, \frac{AB}{AC},$ etc.

Estas proporciones son las mismas que las que existen entre los lados homólogos de cualquier triángulo rectángulo semejante a . Por ejemplo: (Observa la figura de la izquierda)

$\displaystyle \frac{FD}{DE}=\frac{AB}{AC}$ y $\displaystyle \quad\frac{AB}{AC}=\frac{HJ}{HI}$

$\displaystyle \frac{DE}{FE}=\frac{AC}{BC}$ y $\displaystyle \quad\frac{AC}{BC}=\frac{HI}{JI}$

$\displaystyle \frac{FD}{FE}=\frac{AB}{BC}$ y $\displaystyle \quad\frac{AB}{BC}=\frac{HJ}{JI}$

En vista de que estas proporciones son las mismas para todo triángulo semejante a , es decir, todo triángulo rectángulo que tenga los dos lados agudos de medidas $30^\circ$ y $60^\circ$ , hay un nombre especial para cada una de esas proporciones, asociadas a esos ángulos:

$\displaystyle \frac{AB}{BC}$ es llamado el seno de $30^\circ$

$\displaystyle \frac{AC}{BC}$ es llamado el coseno de $30^\circ$

y $\displaystyle \quad \frac{AB}{AC}$ es la tangente de $30^\circ$

Las expresiones seno, coseno y tangente de un ángulo agudo se abrevian así:

seno de $\alpha$ : $\displaystyle \quad \sen{\alpha}$

coseno de $\alpha$ : $\displaystyle \quad \cos{\alpha}$

tangente de $\alpha$ : $\displaystyle \quad \tan {\alpha}$

(Las letras griegas $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta) y $\gamma$ (gamma) se usan con frecuencia para denotar ángulos).

Las otras tres proporciones que se pueden considerar en un triángulo rectángulo son los inversos multiplicativos de $\sen \alpha$ , $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$ . Son llamadas cosecante, secante y cotangente,respectivamente, y se abrevian así:

cosecante de $\alpha$ : $\displaystyle \quad \csc \alpha$

secante de $\alpha$ : $\displaystyle \quad \sec \alpha$

cotangente de $\alpha$ : $\displaystyle :\quad \cot \alpha$

Por ejemplo, en el dibujo de la izquierda,

En general, si los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son $\alpha$ y $\beta$ , se cumple lo siguiente:

Es bueno observar que $\alpha$ y $\beta$ son ángulos complementarios, pues $\alpha + \beta + 90 ^\circ = 180^\circ$ , por ser $\alpha$ , $\beta$ y $90 ^\circ$ los tres ángulos internos de un triángulo.
Así, $\alpha + \beta = 180^\circ - 90 ^\circ = 90 ^\circ$
La lista anterior muestra que el coseno de un ángulo $\beta$ es igual al seno de su complementario.

Cálculos Astronómicos de Copérnico usando la Trigonometría
En la época del Renacimiento, cuando floreció en Europa la actividad humana en áreas tan diversas como la Arquitectura, la Pintura, la Poesía, el Álgebra y la Música, nació Nicolás Copérnico, quien es el primero, en la era cristiana, en defender la teoría heliocéntrica del sistema solar. Antes de él, Aristarco, en el siglo III a.C., había propuesto la teoría heliocéntrica, la cual sostiene que el Sol está en el centro del sistema solar, y los planetas y satélites giran a su alrededor.
Esta teoría fue rechazada por los griegos, pues no podían explicar que los objetos se pudieran mantener sobre la Tierra, estando ésta en movimiento. Surgió entonces la teoría geocéntrica, que suponía a la Tierra inmóvil, y a todos los astros, incluyendo el Sol, moviéndose a su alrededor en complejas trayectorias. Esta teoría, defendida principalmente por Hiparco (s. II a.C.) y Ptolomeo (s. I d.C.), fue la aceptada como verdadera hasta la llegada de la propuesta de Copérnico. Al principio, Copérnico supuso que las órbitas de los planetas alrededor del Sol eran circulares y concéntricas, centradas en el Sol. Además, supuso que las velocidades de traslación de los planetas eran constantes. Con ese modelo en mente, calculó las distancias de los diversos planetas del sistema solar al Sol.
	Se verá a continuación cómo usó Copérnico la Trigonometría para esos cálculos. Un planeta está en oposición (al Sol respecto a la Tierra) cuando se encuentra del mismo lado del Sol que la Tierra y los tres astros están alineados. En la figura siguiente, el planeta está en oposición, es el Sol y es la Tierra.
El período Sideral de un planeta es el tiempo que tarda en hacer una revolución completa en torno al Sol. En el caso de Marte, éste fue calculado por Copérnico, y es de aproximadamente 687 días. Copérnico usó este dato para calcular la distancia de Marte al Sol. Primero supuso, como en la figura siguiente, que Marte está en oposición, siendo Marte, la Tierra y el Sol.
Copérnico sabía, por datos de observación, que 106 días después de que Marte, la Tierra y el Sol estuvieran alineados, la Tierra y Marte se encontrarían en posiciones y respectivamente, tales que $\angle\:ST'M'=90^\circ$ . Durante ese tiempo, el ángulo $\alpha$ descrito por la Tierra es de, aproximadamente, 105 grados, pues $\displaystyle \frac{\alpha}{106}=\frac{360^\circ}{365}$ En cuanto a Marte, dado que su perído sideral de de 687 días, tendríamos que el ángulo $\beta$ descrito por ese planeta será igual a 56 grados, aproximadamente, pues $\displaystyle \frac{\beta}{106}=\frac{360^\circ}{687}$ En consecuencia $\angle\:T'SM'=105^\circ-56^\circ=49^\circ$ . Como el triángulo es rectángulo, resulta que: $\displaystyle \cos(49^\circ)=\frac{ST'}{SM'}$ De donde $\displaystyle SM'=\frac{ST'}{\cos(49^\circ)}\approx\frac{ST'}{0,65606}\approx1,5(ST')$ Estableció así, Copérnico, que la distancia de Marte al Sol era 1,5 veces la distancia de la Tierra al Sol. Esta última distancia era conocida desde los tiempos de Arquímedes y Eratóstenes, calculados por este último, quien determinó que la Tierra estaba a 804.000.000 stadia del Sol (stadium, plural, stadia: unidad de medida utilizada por los griegos antiguos. 1Km.= 6,3 stadia)

Una identidad trigonométrica fundamental

Existen relaciones algebraicas importantes entre las razones trigonométricas, que permiten, al conocer el valor de una de ellas, calcular todas las demás. Con las definiciones dadas hasta ahora, se sabe que, conociendo por ejemplo, $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$ para un ángulo $\alpha$ dado, se pueden calcular todas las demás razones.

Ejemplo: Sabiendo que $\sen(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ , se calculan las demás razones trigonométricas:

$\displaystyle \tan(60^\circ)=\frac{\sen(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

$\displaystyle \cot(60^\circ)=\frac{1}{\tan(60^\circ))}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\displaystyle \sec(60^\circ)=\frac{1}{\cos(60^\circ)}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

$\displaystyle \csc(60^\circ)=\frac{1}{\sen(60^\circ)}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Pero hay una identidad que permite calcular todas la razones trigonométricas a partir del conocimiento de una de ellas. Es la siguiente:

$\displaystyle \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

(Observación: $\sen^2 \alpha=(\sen \alpha)^2$ y $\cos^2 \alpha=(\cos \alpha)^2$ ) Esto es válido para cualquier ángulo $\alpha$ ; a continuación, se demostrará la identidad en el caso de ser $\alpha$ un ángulo agudo:

El triángulo , con ángulo recto en , cumple con lo siguiente:

$\displaystyle \sen \alpha = \frac{AC}{BC}$ y $\displaystyle \quad \cos \alpha=\frac{AB}{BC}$

Por ser un triángulo rectángulo, el Teorema de Pitágoras asegura que :

$\displaystyle AB^2 +AC^2=BC^2$

Si se dividen ambos miembros de esta igualdad entre , se obtiene

$\displaystyle \frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}$

El término de la derecha es igual a 1; el de la izquierda es igual a $(\cos \alpha)^2 + (\sen \alpha)^2$ , puesto que $\frac{AB^2}{BC^2}=(\frac{AB}{BC})^2$ y $\frac{AC^2}{BC^2}=(\frac{AC}{BC})^2$ . Hemos obtenido, entonces, la identidad fundamental:

$\displaystyle \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Observación: No hay que confundir las expresiones $\sen^2 \alpha$ y $\sen \alpha^2$ , pues

$\displaystyle \sen^2 \alpha=(\sen \alpha)^2=(\sen \alpha)(\sen \alpha)$

y $\displaystyle \quad \sen \alpha^2=\sen (\alpha . \alpha)$

La identidad anterior permite calcular $\cos \alpha$ si se conoce $\sen \alpha$ . Por ejemplo, si se sabe que

$\displaystyle \sen 45^\circ= \frac{\sqrt{2}}{2}$

Como $\displaystyle \quad \sen^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = 1,$ entonces

$\displaystyle \cos^2 45^\circ=1-\sen^2 45^\circ$

$\displaystyle \cos 45^\circ= \sqrt{1-\sen^2 45^\circ}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ahora, conociendo $\sen 45^\circ$ y $\cos 45^\circ$ , se pueden calcular todas las demás razones.

Las razones trigonométricas

En el triángulo rectángulo que se muestra a la derecha se pueden considerar las proporciones entre sus lados:

$\displaystyle \frac{AB}{BC}, \frac{AC}{BC}, \frac{AB}{AC},$ etc.

Estas proporciones son las mismas que las que existen entre los lados homólogos de cualquier triángulo rectángulo semejante a . Por ejemplo: (Observa la figura de la izquierda)

$\displaystyle \frac{FD}{DE}=\frac{AB}{AC}$ y $\displaystyle \quad\frac{AB}{AC}=\frac{HJ}{HI}$

$\displaystyle \frac{DE}{FE}=\frac{AC}{BC}$ y $\displaystyle \quad\frac{AC}{BC}=\frac{HI}{JI}$

$\displaystyle \frac{FD}{FE}=\frac{AB}{BC}$ y $\displaystyle \quad\frac{AB}{BC}=\frac{HJ}{JI}$

$\displaystyle \frac{AB}{BC}$ es llamado el seno de $30^\circ$

$\displaystyle \frac{AC}{BC}$ es llamado el coseno de $30^\circ$

y $\displaystyle \quad \frac{AB}{AC}$ es la tangente de $30^\circ$

Las expresiones seno, coseno y tangente de un ángulo agudo se abrevian así:

seno de $\alpha$ : $\displaystyle \quad \sen{\alpha}$

coseno de $\alpha$ : $\displaystyle \quad \cos{\alpha}$

tangente de $\alpha$ : $\displaystyle \quad \tan {\alpha}$

(Las letras griegas $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta) y $\gamma$ (gamma) se usan con frecuencia para denotar ángulos).

Por ejemplo, en el dibujo de la izquierda,

En general, si los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son $\alpha$ y $\beta$ , se cumple lo siguiente:

$\sen\alpha=\frac{PR}{RQ}=\cos\beta$ $\cot\alpha=\frac{PQ}{RP}=\tan\beta$	$\cos\alpha=\frac{PQ}{RQ}=\sen\beta$ $\sec\alpha=\frac{RQ}{PQ}=\csc\beta$
$\tan\alpha=\frac{PR}{PQ}=\cot\beta$ $\csc\alpha=\frac{RQ}{PR}=\sec\beta$



En esta sección se estudiarán algunos temas del Álgebra pertenecientes al currículo del Ciclo Diversificado , que son la continuación de temas estudiados en la Tercera Etapa, como por ejemplo: Funciones, Polinomios y Sistemas de Ecuaciones. Además, se hará una introducción a temas nuevos como las Inecuaciones, las Matrices como representantes de transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensiones 2 y 3, y el uso de éstas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Funciones Reales

Introducción Histórica: Durante varios siglos se estudiaron expresiones algebraicas en las cuales implícitamente se involucraba la idea de lo que hoy se denomina una función, sin que el concepto preciso de función se hubiera formulado en aquel entonces. Muchas construcciones matemáticas, como el número, por ejemplo, evolucionaron de esa misma manera. Al principio fueron utilizadas ampliamente y sólo mucho más tarde surgió una reflexión acerca de la definición formal de esas construcciones. En el caso específico de las funciones, ya en el siglo XVI, cuando los algebristas buscaban soluciones para las ecuaciones polinómicas de grado 3 y 4 estaban utilizando la idea de función, en el sentido siguiente: la expresión ( ) tomará un valor numérico preciso cuando la sea sustituida por un número cualquiera.

Resolver la ecuación:

$\displaystyle 2x^3-3x^2+x-1=0$

es descubrir para cuáles números ocurre que al sustituir la por esos números, se obtiene el valor numérico cero.

La necesidad de resolver este tipo de ecuaciones tenía su origen en el interés por conocer las leyes que rigen el movimiento. Había que explicar, por ejemplo, por qué los objetos se mantenían en la superficie terrestre, y no quedaban flotando atrás, mientras que la Tierra giraba en torno a sí misma y alrededor del sol. A fines del siglo XVI y comienzos del siglo XVII, Copérnico y Galileo habían transformado la concepción que se tenía entonces de la Tierra inmóvil en el centro del Universo. Uno de los problemas que inquietaban a los científicos de la época, era precisamente el hecho de que hubiera estabilidad de los objetos en la superficie de nuestro planeta en movimiento.

Ya en el siglo XVII comenzó a surgir entre los matemáticos la idea de formalizar una definición de eso que hoy llamamos función. Leibniz fue el primero en usar la palabra 'función' a fines del siglo XVII y Euler, el siglo XVIII fue el primero en usar la notación . De manera que este concepto nace ligado al fenómeno del movimiento, y se convierte con el tiempo, en una herramienta fundamental para el estudio de los fenómenos naturales a través de la Matemática.

Una manera de describir la trayectoria de un móvil es la siguiente: Para cada intervalo de tiempo , transcurrido a partir del momento en que se inicia el movimiento, se determina la distancia a la que se encuentra el móvil de su lugar de origen. Cuando los pares ordenados se representan en el plano cartesiano se obtiene una curva (o segmento de recta, que es un tipo especial de curva) asociada al movimiento en cuestión.

Factorización de polinomios

Entre las funciones importantes de la Matemática está la familia de las funciones polinómicas. Una función polinómica puede definirse de manera que su dominio sea el conjunto $\mathbb{R}$ de todos los números reales o el conjunto $\mathbb{C}$ de los números complejos Por ejemplo, la función puede considerarse como definida sobre $\mathbb{C}$ :

$\displaystyle f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C},\quad\quad f(x)=x^2+1$

y esto significa que para cada número complejo , se tiene:

$\displaystyle f(x)=(a+bi)^2+1=[(a^2-b^2)+2abi]+1=a^2-b^2+1+2abi$

Así, por ejemplo:

$\displaystyle f(-1+2i)=-2-4i$

$\displaystyle f(2)=f(2+0i)=2^2+1=5$

Si, en cambio, se define

$\displaystyle g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\quad\quad g(x)=x^2+1$

se trata de una función diferente a , aunque tengan la misma regla de correspondencia. y son distintas, porque sus dominios respectivos son distintos; sin embargo, para todo número real ,

Inecuaciones

Las ecuaciones son expresiones algebraicas que contienen una o más variables ( $x,\;y,\; z,\;\mbox{etc}$ ) y que establecen una igualdad entre dos miembros; por ejemplo:

$\begin{displaymath}1)\quad x^2+2x-1=0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}2)\quad 2x-4y=1-x\end{displaymath}$

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores numéricos que la satisfacen; el conjunto de números que satisfacen una ecuación, es decir, aquellos que, al sustituir a las incógnitas, producen una igualdad verdadera, se llama conjunto solución de la ecuación.

En el caso de una ecuación con una incógnita, se obtiene por lo general un conjunto solución que está contenido en $\mathbb{R}$ (la recta real) como en el ejemplo 1. Cuando la ecuación tiene dos incógnitas, el conjunto solución esta contenido en el plano ( $\mathbb{R}^2$ ), como en el ejemplo 2; hay excepciones a esto (ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es un conjunto contenido en $\mathbb{R}^3$ , o ecuaciones con una incógnita cuyo conjunto solución está contenido en $\mathbb{R}^2$ ) pero en estos casos, se plantea explícitamente la situación.
Por ejemplo, si se necesita determinar el conjunto de puntos del plano tales que:

$\begin{displaymath}y^2-9=0\end{displaymath}$

se tiene una ecuación con una sola incógnita, pero en el planteamiento del problema se indica que se busca un conjunto solución contenido en $\mathbb{R}^2$ .
Como cuando $y=3 \mbox{ {\'o} } y=-3$ , se tiene que todos los puntos de la forma y todos los puntos de la forma están en el conjunto solución, puesto que a la coordenada de cualquier punto del plano no se le exige ninguna condición para que ese punto sea una solución.

Una inecuación es una expresión algebraica que contiene incógnitas como una ecuación, pero no se establece en dicha expresión una igualdad, sino una desigualdad. Por ejemplo, la ecuaciones 1) y 2) del ejemplo anterior se transforman en inecuaciones al sustituir la igualdad por uno de los signos:

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} > & < & \geq & \leq \\ \mbox{mayor q... ...{mayor o igual que} & \mbox{menor o igual que} \\ \end{array}\end{displaymath}$

Por ejemplo, se pueden obtener estas inecuaciones:

$\begin{displaymath}1)\quad x^2+2x-1\leq0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}2)\quad 2x-4y>1-x\end{displaymath}$

Sistema de Inecuaciones

Un sistema de inecuaciones es un grupo de dos o más inecuaciones. El conjunto solución del sistema es el conjunto de todas las soluciones comunes a todas las inecuaciones del sistema. Por ejemplo, se considera el sistema de inecuaciones

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{cccc} (1) & 2x-1 & > & 3x+7 \\ [.3cm] (2) & -1+x & \leq & 3-3x \end{array} \right. \end{displaymath}$

El conjunto solución de este sistema es el conjunto de todos los números reales que son solución de la inecuación (1) y también de la inecuación (2). Por ejemplo, es una solución de (2), pues $-1+0\leq 3-3(0)$ , ya que, $-1\leq 3$ ; pero no es una solución de (1):

$\begin{displaymath} 2(0)-1 = -1 \quad \not> \quad 3(0)+7=7 \end{displaymath}$

Así, no está en el conjunto solución del sistema de inecuaciones dado, aunque sea una solución de la inecuación (2). Para determinar el conjunto de todas las soluciones del sistema, se encuentra el conjunto solución de (1)(Inecuaciones) y luego el de (2), y finalmente se determinan todas las soluciones comunes a ambas inecuaciones:

$\begin{eqnarray*} (1) \qquad 2x-1 & > & 3x+7 \\ [.3cm] -1 & > & 3x+7-2x \\ [.3cm] -1-7 & > & x \\ [.3cm] -8 & > & x \end{eqnarray*}$

El conjunto solución de (1) es el intervalo $S_1=(-\infty,-8)$ .

El conjunto solución de (2) es el intervalo $S_2=(-\infty,1]$ . :

$\begin{eqnarray*} (2) \qquad -1+x & \leq & 3-3x \\ [.3cm] -1+x+3x & \leq & 3 \\ [.3cm] 4x & \leq & 4 \\ [.3cm] x & \leq & 1 \end{eqnarray*}$

Se pueden representar estos dos intervalos, y en una misma recta para determinar el conjunto de las soluciones comunes: $(-\infty,-8)$ .

El conjunto solución del sistema de inecuaciones es el conjunto $(-\infty,-8)$ , pues es el que gráficamente se identifica como el intervalo que contiene a las soluciones de ambas inecuaciones.

Este conjunto $S=(-\infty,-8)$ se conoce como el conjunto intersección de y y se escribe

$\begin{displaymath} S \;=\; S_1\bigcap S_2 \end{displaymath}$
ó
$\begin{displaymath} (-\infty,-8) \;=\; (-\infty,-8)\bigcap (-\infty,1] \end{displaymath}$

En otras palabras, el conjunto $(-\infty,-8)$ (de los números reales menores que ) es igual al conjunto de todos los números reales que son menores que y menores que también.

Transformaciones Lineales

Introducción: Ciertas ideas matemáticas han tenido un impacto tan grande en el desarrollo posterior de esta ciencia, que algunos historiadores las califican de revolucionarias. Un ejemplo de esas ideas singulares es la creación del plano cartesiano, que se le atribuye al filósofo y matemático René Descartes, aunque también la propuso, al mismo tiempo y de manera independiente, el abogado y matemático aficionado Pierre de Fermat. Con esta idea, que tal vez hoy pueda parecer simple, se hizo posible el estudio de la Geometría de una manera nueva y muy fructífera

Surgió lo que hoy se denomina Geometría Analítica, disciplina que permite asociar la Geometría y el Álgebra, al estudiar las ecuaciones algebraicas que corresponden a las distintas figuras geométricas: rectas, parábolas, circunferencias, elipses, hipérbolas y muchas otras. Por ejemplo, si se considera la simetría con respecto a la siguiente recta vertical:

El segmento es simétrico con respecto a la recta (o eje de simetría) del segmento . Para determinar los puntos y a partir de y , basta con trazar perpendiculares al eje de simetría por los puntos y , y sobre estas perpendiculares se ubicarán y , de tal manera que sus respectivas distancias a sean idénticas a las distancias entre y y entre y respectivamente: (Ver figura de la izquierda)

Esta situación se puede estudiar con mucha precisión si se considera dentro del plano cartesiano, suponiendo que es, por ejemplo, el eje de las ordenadas: Aquí, si y , es evidente que las coordenadas de y son: (1, 1) y (4, 4) respectivamente. También es muy fácil encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por y respectivamente ( rectas en el plano ).(Ver figura de la izquierda)

El uso del plano cartesiano permite calcular las coordenadas del simétrico de cualquier punto dado del plano. Esto muestra que, el simple hecho de asociarle un par de números (coordenadas cartesianas) a cada punto del plano, permite hacer luego cálculos que contribuyen a describir con precisión las figuras geométricas y estudiar sus propiedades a través de sus ecuaciones algebraicas. En lo que sigue, se estudiarán ciertas transformaciones del plano cartesiano, es decir, funciones (funciones ) que tienen como dominio y conjunto de llegada el plano cartesiano.

Transformaciones Lineales del Plano. La simetría del plano con respecto al eje de las ordenadas es un ejemplo de una función, a la que llamaremos ;

$\displaystyle S:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$

definida así:

$\displaystyle S(x,y)=(x',y')$

donde es el punto del plano que es simétrico de con respecto al eje de las ordenadas. (Ver figura de la izquierda)

Como puede verse en la figura, si es un punto del plano, el simétrico de respecto al eje de las ordenadas es .

Es decir:

$\displaystyle S(x,y)=(-x,y)$

Por ejemplo:

$\displaystyle (2,6)=(-2,6)$

$\displaystyle S(-1,-4)=(1,-4)$

Si se considera a cada punto del plano como un vector cuyo origen es el punto y cuyo extremo es el punto , se tiene que $S:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ es una función del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ en sí mismo.(Ver figura de la izquierda) ( vectores en el plano

Transformaciones lineales en el espacio

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ ( vectores en el espacio ) se definen también las transformaciones lineales como en el plano.

Una función $T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$ es una transformación lineal, si se satisfacen las dos propiedades siguientes:

1. Si y son vectores en $\mathbb{R}^3$ , entonces

2. Si es un vector en $\mathbb{R}^3$ y es un número real cualquiera, entonces

$T(a(x,y,z))=a\cdot T(x,y,z)$

Una transformación lineal en el espacio muy sencilla es la homotecia, que le asocia a cada vector un
múltiplo de él mismo. Un ejemplo de homotecia es la siguiente transformación: Sea $G:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$
definida por:

$\displaystyle G(x,y,z)=4(x,y,z)=(4x,4y,4z)$

Para verificar que la primera propiedad de las transformaciones lineales se cumple, tomemos los vectores $\stackrel{\longrightarrow}{{v}}=(4,0,2)$ y $\stackrel{\longrightarrow}{{w}}=(2,9,1)$ :

$\displaystyle G(\stackrel{\longrightarrow}{{v}}+\stackrel{\longrightarrow}{{w}})=G((4,0,2)+(2,9,1))=G(6,9,3)=4(6,9,3)=(24,36,12)$

$\displaystyle G(\stackrel{\longrightarrow}{{v}})+G(\stackrel{\longrightarrow}{{w}})=4(4,0,2)+4(2,9,1)=(16,0,8)+(8,36,4)=(24,36,12)$

Así, queda claro que:

$G(\stackrel{\longrightarrow}{{v}}+\stackrel{\longrightarrow}{{w}})=G(\stackrel{\longrightarrow}{{v}})+G(\stackrel{\longrightarrow}{{w}})$

La siguiente función también es una transformación lineal de $\mathbb{R}^3$ en sí mismo: $\displaystyle T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$

$\displaystyle T(x,y,z)=(2x-y+z,y-z,x-3y+2z)$

En efecto, si y son dos vectores en $\mathbb{R}^3$ , entonces

$\displaystyle T[(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)]=T(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=$

$\displaystyle (2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),(y_1+y_2)-(z_1+z_2),(x_1+x_2-3(y_1+y_2)+2(z_1+z_2))=$

$\displaystyle (2x_1+2x_2-y_1-y_2+z_1+z_2,y_1-z_1+y_2-z_2, x_1+x_2-3y_1-3y_2+2z_1+2z_2)=$

$\displaystyle ((2x_1-y_1+z_1)+(2x_2-y_2+z_2),(y_1-z_1)+(y_2-z_2),(x_1-3y_1+2z_1)+(x_2-3y_2+2z_2))=$

$\displaystyle (2x_1-y_1+z_1,y_1-z_1,x_1-3y_1+2z_1)+(2x_2-y_2+z_2,y_2-z_2,x_2-3y_2+2z_2)=T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2)$

Esto prueba que cumple la propiedad 1). Por otra parte, si es un número real, se tiene:

$\displaystyle T(ax_1,ay_1,az_1)=(2(ax_1)-ay_1+az_1,ay_1-az_1,ax_1-3(ay_1)+2(az_1))=$

$\displaystyle a(2x_1-y_1+z_1,y_1-z_1,x_1-3y_1+2z_1)$

lo cual significa que la propiedad 2) se cumple.

Matrices y determinantes

Las matrices son objetos matemáticos de gran utilidad en el manejo organizado de información que puede ser suministrada en datos numéricos. En especial, cuando están asociadas a transformaciones lineales entre espacios vectoriales, las matrices simplifican el estudio de sus propiedades, como se apreciará a continuación.

Matrices Cuadradas y Matrices Rectangulares.
Una matriz es un arreglo, en filas y columnas, de números que son llamados coeficientes. Por ejemplo, el siguiente arreglo constituye una matriz:

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{rr} 2 & -1\\ 3& 0\end{array} \right)$

La matriz tiene dos filas: $(2\quad -1)$ y $(3\quad 0)$ .

Tiene dos columnas:

$\displaystyle \left(\begin{array}{r} 2\\ 3 \end{array}\right)$ y $\displaystyle \quad\left(\begin{array}{r} -1\\ 0 \end{array}\right)$

Se dice que es una matriz cuadrada, porque tiene igual número de filas que de columnas. Se dice también que es una matriz de orden $2\times 2$ , lo que indica que tiene 2 filas y 2 columnas. La primera columna de es $\left(\begin{array}{r} 2\\ 3 \end{array}\right)$ y la segunda, $\left(\begin{array}{r} -1\\ 0 \end{array}\right)$ . El orden de filas y columnas es importante. Si se cambia este orden, cambia la matriz. Las matrices rectangulares son aquellas que tienen diferentes números de filas y columnas. Por ejemplo, la matriz:

$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 2 & -4\\ -1 & 1 & -3\end{array}\right)$

es una matriz de orden $2\times 3$ (2 filas y 3 columnas; siempre se colocan en ese orden los números, por convención).

Las filas de , que son: $(0\quad 2\quad -4)$ y $(-1\quad 1\quad -3)$ pueden considerarse como vectores en $\mathbb{R}^3$ , y se dice que cada fila es un 'vector fila'. Igualmente, cada columna de se puede considerar como un vector en $\mathbb{R}^2$ :

$\left(\begin{array}{r} 2\\ 1 \end{array}\right)$ se identifica con el vector , $\left(\begin{array}{r} 2\\ 1 \end{array}\right)$ con y $\left(\begin{array}{r} -4\\ -3 \end{array}\right)$ con .

Cada columna es un 'vector columna'. Cuando se quiere hacer referencia a la posición que ocupa un coeficiente en una matriz, se nombra primero la fila y luego la columna a las cuales pertenece el coeficiente; por ejemplo en la matriz , el coeficiente 1 está en la segunda fila, segunda columna.

Las transformaciones lineales Transformaciones lineales están asociadas a las matrices de la siguiente manera:

Si $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ es la transformación lineal definida así:

$\displaystyle T(x,y)=(2x-y,x+3y)$

Entonces su matriz asociada será:

$\displaystyle M_T=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3 \end{array}\right)$

Los coeficientes de se calculan a partir de la definición de la transformación .

Esta manera de construir la matriz a partir de , permite obtener la imagen, mediante , de cualquier vector de $\mathbb{R}^2$ , haciendo las operaciones siguientes, escribiendo el vector como vector columna, a la derecha de :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\be... ...)+3(b) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2a-b\\ a+3b \end{array}\right)$

1. Se ha multiplicado cada coeficiente de la primera fila de por y respectivamente, y se han sumado los resultados:

$\displaystyle 2a+(-1)b=2a-b$

$\displaystyle 1(a)+3(b)=a+3b$

Este número es la primera coordenada del vector columna .

2. Se hacen las mismas operaciones con la segunda fila de y y :

Así, se ha obtenido la segunda coordenada del vector columna . Finalmente, se obtiene:

$\displaystyle T(a,b)=(2a-b,a+3b)=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r} a\\ b\end{array}\right)$

Por ejemplo, al calcular usando la definición de , se obtiene:

$\displaystyle T(2,3)=(2(2)-3,2+3(3))=(1,11)$

Ahora, realizando la operación definida antes entre y , se obtiene:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\be... ...{r} 4-3\\ 2+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1\\ 11\end{array}\right)$

Algunas matrices de orden $2\times 2$ , que son importantes, son las siguientes:

1. $I_2=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)$ . Esta es la matriz identidad, que corresponde a la transformación identidad $I:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ , definida por . Si aplicamos la transformación (o la matriz ) a los vectores del plano, éstos quedan fijos:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\beg... ... x+0y \\ 0x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} x \\ y\end{array}\right)$

Una figura cualquiera del plano, quedaría fija después de aplicar la transformación . (Ver figura de la derecha)

Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada $\left(\begin{array}{rr} a&c\\ b&d\end{array}\right)$ es el número real que se obtiene al efectuar las operaciones:

$\displaystyle ad-bc$

Se usa la notación siguiente:

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr} a&c\\ b&d\end{array}\right\vert=ad-bc$

Por ejemplo, si $M=\left(\begin{array}{rr} 2&5\\ -1&3\end{array}\right)$ entonces el determinante de , que se denota por $\vert M\vert$ , es:

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr} 2&5\\ -1&3\end{array}\right\vert=2(3)-(-1)5=6+5=11$

El signo (positivo o negativo) del determinante de una matriz $2\times 2$ tiene un significado geométrico; se explicará a través del ejemplo anterior.

$\displaystyle M=\left(\begin{array}{rr} 2&5\\ -1&3\end{array}\right)$

Los vectores columna de son:

$\stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}=\left(\begin{array}{r}2\\ -1\end{array}\right)$ y $\stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}=\left(\begin{array}{r}5\\ 3\end{array}\right)$ .

Se representan $\stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $\stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$ en el plano cartesiano

El ángulo que forman $\stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $\stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$ , medido a partir de $\vec{v_1}$ y en sentido opuesto a las agujas del reloj, es menor que $180^\circ$ y mayor que $0^\circ$ . Se puede demostrar que, por eso, el determinante de (matriz formada por los vectores columna $\stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $\stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$ ) es positivo. Así, cada vez que eso ocurra, es decir, cuando el ángulo entre los vectores columna, medido a partir del primer vector en el sentido indicado, sea menor que $180^\circ$ y mayor que $0^\circ$ , el determinante será positivo.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Introducción:

Cuando se considera una funcion lineal , por ejemplo: , la cual podría servir para determinar el número de personas ( ) que podrían alimentarse con una cantidad de kilogramos de arroz, se puede presentar la situación siguiente: Suponiendo que se tienen personas invitadas para un evento especial, si se quiere determinar el número de kilogramos de arroz que habría que preparar para alimentarlas, tendría que plantearse la siguiente pregunta: ¿Para cuál número real se cumple que ? Este tipo de pregunta surge con frecuencia y da origen a lo que llamamos ecuaciones lineales, pues sabiendo que , se plantea la ecuación lineal: y al resolverla se encuentra el número buscado: la preimagen de 122 mediante , que es, en este caso, , pues .
Se necesitarían, entonces, Kg. de arroz para el evento.

Si ahora se tiene una transformación lineal con transformaciones Lineales

$\displaystyle T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$

definida por:

$\displaystyle T(x,y,z)=(2x-y,y+x-3z,x+z)$

Una situación análoga a la anterior sería la siguiente:
Dado el punto en $\mathbb{R}^3$ , ¿Cuál será el punto en $\mathbb{R}^3$ tal que ? o, dicho de otro modo: ¿Cuál será la preimagen de mediante ? Como , se tiene que cumplir:

$\displaystyle (2x-y,y+x-3z,x+z)=(3,-2,1)$

Pero, dado que dos vectores en $\mathbb{R}^3$ son iguales sólo si coinciden en sus tres coordenadas, se debe cumplir lo siguiente:

1.
2.
3.

Las ecuaciones 1), 2) y 3) deben cumplirse todas para que sea cierto que .
Estamos en presencia de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, y su solución es un vector de $\mathbb{R}^3$ , que en este caso es $\left(\frac{2}{3},\frac{-5}{3},\frac{1}{3}\right)$ .

Esto significa que:

$T\left(\frac{2}{3},\frac{-5}{3},\frac{1}{3}\right)=(3,-2,1)$

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución única, tener infinitas soluciones, o no tener ninguna solución. Este último caso es el que se da cuando el vector cuya preimagen se busca, no pertenece al rango de la función. A continuación, se estudiarán sistemas de ecuaciones diversos y se explicará el modo de reconocer cuándo tienen solución y si ésta es única o no. También se estudiarán métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones de hasta tres incógnitas y hasta tres ecuaciones.

Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales. Un sistema de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas como:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 2x+y=1\\ -3x+2y=0\end{array}\right.$



Se estudiarán las nociones básicas de Teoría Combinatoria que serán luego utilizadas en los cálculos de la Teoría de Probabilidades. Se estudiarán las nociones elementales de Estadística y algunas aplicaciones. En la exposición de estos temas, no se asume que el usuario posee conocimientos previos en estas áreas, a pesar de que algunos de éstos son tratados en la Tercera Etapa.

Nociones de Estadística

Introducción: La estadística es una rama de la Matemática que se ocupa de la recolección, organización, análisis e interpretación de datos. La información contenida en una gran cantidad de datos recolectados es muy difícil de obtener si no se realizan antes las tareas de organización, análisis e interpretación propios de la Estadística.

Es por esto que en muchas áreas del conocimiento, actualmente la Estadística resulta muy útil, y en algunas, hasta indispensable.
Por ejemplo, en las Ciencias Sociales se requiere con frecuencia estudiar el comportamiento o la situación de grupos humanos numerosos, y para ello, la Estadística resulta ser una herramienta fundamental.

Definiciones Básicas: Con el objeto de definir algunos de los términos elementales que se usan en Estadística, se planteará el estudio de un fenómeno en particular, desde el punto de vista estadístico. Supóngase que se desea estudiar el fenómeno del rendimiento académico de los estudiantes de $2^{\circ}$ año de Ciencias de un cierto Liceo, en la asignatura de Física.

Población: Se denomina 'población' del estudio estadístico, en este caso, al grupo de todos los estudiantes de $2^{\circ}$ año de Ciencias del Liceo en cuestión. Es importante observar que la palabra 'población', en Estadística, puede referirse a un conjunto de objetos y no necesariamente a un conjunto de personas o seres vivos en general. Por ejemplo, si se quiere hacer un estudio del estado en que se encuentran los pupitres de todo el Liceo, clasificándolos en tres categorías: inservible, reparable, y en buenas condiciones, en este caso la población estaría conformada por todos los pupitres que hay en el Liceo.

Muestra: Cuando la población es muy numerosa, se hace difícil obtener y analizar la información proveniente de todos los individuos, y en ese caso se seleccionan algunos individuos representativos de la población para hacer el estudio estadístico. El grupo de individuos seleccionados se denomina muestra. En el caso del estudio sobre el rendimiento académico de los esudiantes de $2^{\circ}$ año de Ciencias, si se tratara de un Liceo pequeño con sólo una sección de cada curso, se tomaría toda la población para el estudio. Pero si se tratara de un Liceo muy grande, con 10 secciones de $2^{\circ}$ año de Ciencias, probablemente se tomaría una muestra, seleccionando unos 5, 10 ó 12 estudiantes de cada sección, según las posibilidades del equipo que realiza el estudio.

Variables estadísticas: Las variables estadísticas son los datos que proporcionan los individuos de la población (o muestra) observada. Pueden ser cuantitativas, como en el caso del estudio del rendimiento académico, si se usa el dato de la nota definitiva que obtuvo cada alumno en la asignatura de Física. Siempre que la información esté dada a través de números, se considera que es una vairable cuantitativa. En el caso del estudio sobre el estado de los pupitres del colegio, se tiene una variable cualitativa, pues la información sobre cada pupitre no está dada en términos numéricos, sino que se ubica a cada uno en una de las categorías: inservible, reparable, en buenas condiciones.

Organización de Datos: Se obtienen los siguientes datos al investigar acerca de las notas obtenidas en Física por los 35 estudiantes de $2^{\circ}$ año de Ciencias: 12, 06, 18, 10, 11, 11, 17, 09, 07, 10, 09, 15, 13, 03, 16, 12, 16, 10, 08, 05, 10, 13, 18, 11, 12, 03, 07, 09, 20, 14, 16, 10, 04, 09, 18. Un primer paso a tomar para la organización de esta información, de manera que se facilite su estudio, es el siguiente: se construye una tabla estadística, llamada tabla de frecuencias, en la cual se apreciará el número de estudiantes que obtuvo cada nota, desde 0 hasta 20: (ver la siguiente tabla)

A partir de esta tabla se pueden obtener representaciones gráficas del fenómeno estudiado, como por ejemplo un histograma, que se construirá más adelante. Sin embargo, hay varios aspectos del rendimiento académico del curso observado, que se hacen evidentes al organizar los datos como en la tabla anterior. Por ejemplo, el número de alumnos que tienen una nota inferior a 07 es 5 (2 sacaron 03, 1 sacó 04, 1 sacó 05 y 1 sacó 06). De estos 5 alumnos se puede decir que no aprendieron lo que se esperaba durante el curso.

Se puede considerar a los estudiantes con notas entre 07 y 11 como el grupo que logró aprender una parte de lo que se dió en el curso de Física, pero una parte importante de lo que debió aprender, no está entre sus conocimientos. En un nivel que podría llamarse satisfactorio, estarían los 11 estudiantes con notas entre 12 y 17, y el nivel de excelencia, lo alcanzaron sólo 4 estudiantes, con notas entre 18 y 20. Estas observaciones sugieren que también sería útil organizar la tabla de frecuencias de la manera siguiente:

Intervalos	Frecuencia Absoluta
0-07	5
07-12	15
12-18	11
18-20	4

Este tipo de tabla suele llamarse una distribución de frecuencias. En la columna de la izquierda se colocan intervalos de números que agrupan las notas que pueden ser obtenidas por los estudiantes. Los intervalos indican que los números a considerar en esa categoría son: el extremo inferior y todos los mayores que él y menores que el extremo superior. Por ejemplo, en el intervalo 0-07, se incluyen: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06. En el intervalo 12-18, se incluyen: 12, 13, 14, 15, 16, 17. Los intervalos son determinados por el criterio de quien hace el estudio estadístico.
Se podrían escoger de distintas maneras, por ejemplo:

Intervalos	Frecuencia absoluta
00-03	0
03-06	4
06-09	4
09-12	12
12-15	6
15-18	5
18-20	4

Las distintas maneras de distribuir las frecuencias de ocurrencia de las variables (en este caso, las notas) permiten observar el fenómeno desde distintos puntos de vista. El punto de vista que interesaba en la primera distribución, era el de la clasificación del grupo en 4 categorías: deficiente, regular, satisfactorio y excelente. En este último ejemplo, la distribución de frecuencias con intervalos de longitud igual a 3 es necesaria para obtener una clasificación más detallada de los estudiantes. Se observa, por ejemplo, que el intervalo (también llamado 'clase') donde hay un mayor número de estudiantes es el 09-12, esto es, el que incluye las notas 09, 10 y 11.

Frecuencia Relativa: En las tablas de frecuencia construidas, se observa que la columna de las frecuencias se denomina 'Frecuencia absoluta'. El término 'absoluta' se refiere a que se trata simplemente de la frecuencia con que las variables estadísticas toman el valor o los valores indicados.
La frecuencia relativa, por otra parte, se refiere a la proporción de datos que caen en el intervalo dado con respecto al total de datos. Por ejemplo, tomando el caso de la última tabla de frecuencias, el intervalo 09-12 tiene una frecuencia absoluta de 12; su frecuencia relativa es, entonces, igual a:

$\displaystyle \frac{12}{35}$

Pues el total de datos (notas de estudiantes) es 35. Así, se tiene:

Frecuencia relativa

$\displaystyle =\frac{\mbox{Frecuencia absoluta}}{\mbox{N\'umero Total de datos}}$

La frecuencia relativa, como es una proporción, proporciones permite establecer una comparación entre la frecuencia de ocurrencia de ciertos datos y el número total de datos.

Por ejemplo, sabiendo que la frecuencia relativa del intervalo 18-20 es igual a $\frac{4}{35}=0,11$ , se puede concluir que una proporción muy pequeña de estudiantes tienen notas entre 18 y 20.

Frecuencia acumulada: La frecuencia acumulada de un cierto valor o intervalo de valores (clase) se define como la suma de todas las frecuencias absolutas que preceden a la clase más la frecuencia absoluta de la clase en cuestión. Por ejemplo, en la tabla de frecuencias absolutas:

Clase	Frecuencia Absoluta
00-03	0
03-06	4
06-09	4
09-12	12
12-15	6
15-18	5
18-20	4

Se observa que la suma de las frecuencias absolutas de las tres primeras clases es: ; eso significa que la frecuencia acumulada de clase 06-09 es igual a 8. La frecuencia acumulada simplemente indica cuántos estudiantes tienen nota inferior a 09 en el curso analizado.

CALCULO DE PROBABILIDAD

Probabilidad y Estadística

La Teoría de Probabilidades es actualmente una rama muy desarrollada de las Matemáticas. Los primeros matemáticos que se ocuparon de estudiar algunas leyes que gobiernan los sucesos azarosos o aleatorios (sucesos como el lanzamiento de dados, cuyo resultado no es predecible con exactitud), lo hicieron motivados por la práctica de juegos de azar. Entre los más importantes matemáticos que iniciaron el estudio de la Teoría de Probabilidades están Cardano (s.XVI, Italia), Fermat y Pascal (s.XVII,Francia).

Conceptos Básicos.
Cuando se realiza un experimento aleatorio, como el lanzamiento de una moneda al aire, para luego observar cuál superficie muestra la moneda al caer al suelo, se deben precisar ciertas características del experimento, si se desea aplicar la Teoría de Probabilidades a su estudio. La primera de estas características que debe conocerse es el conjunto de todos los resultados posibles. Este conjunto se llama ``Espacio Muestral'', y en el caso del lanzamiento de la moneda, está constituido por dos resultados: cara y sello. Si se tratase del experimento de lanzar un dado para observar el número obtenido, el espacio muestral sería:

$\displaystyle E=\{1,2,3,4,5,6\}$

Cada elemento del espacio muestral es llamado ``punto muestral''. En otras palabras, cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio se denomina punto muestral. En el experimento de lanzar el dado, cada número del 1 al 6 es un punto muestral. Se denomina ``evento'' a cualquier colección de puntos muestrales. Por ejemplo, el conjunto $\{1,5,6\}$ es un evento del experimento de lanzamiento del dado. Con frecuencia se desea conocer la probabilidad de que un cierto evento ocurra; por ejemplo, si se quiere saber la probabilidad de que en un lanzamiento de dados se obtenga un número menor que 4, se está preguntando por la probabilidad de que el evento $\{1,2,3\}$ ocurra (es decir, que salga 1, 2 ó 3).

Cálculo de Probabilidades

Cuando los puntos muestrales de un experimento aleatorio tienen todos el mismo chance de ocurrir, como es el caso del lanzamiento de un dado, o de una moneda, se dice que se trata de casos equiprobables.

El denominado concepto clásico de probabilidad es el siguiente: En un experimento aleatorio donde todos los puntos muestrales son equiprobables, la probabilidad de un evento $\Delta$ es igual a:

$\displaystyle {\cal P}(A)=\frac{n}{N}$

donde es el número de casos favorables al evento y , el número total de casos.
Por ejemplo, en el caso del lanzamiento del dado, la probabilidad de que salga cualquiera de los resultados (1, 2, 3, 4, 5 ó 6) es igual, si el dado está bien construido. Así:

$\displaystyle {\cal P}(\{1\})={\cal P}(\{2\})={\cal P}(\{3\})=\dots={\cal P}(\{6\})=\frac{1}{6}$

Como los puntos muestrales son equiprobables, la probabilidad de que ocurra el evento $A=\{5,6\}$ , será:

$\displaystyle {\cal P}(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

pues el número de casos favorables a es 2 y el número total de casos es 6.
Otro ejemplo: Se tienen 4 pelotas del mismo material e igual tamaño, en una caja. Hay 2 pelotas rojas, una negra y una blanca. El experimento consiste en sacar una pelota y observar el color. En este caso, el espacio muestral es: $E=\{$ roja, negra, blanca $\}$ o, abreviado, $E=\{r,n,b\}$ . Como hay dos pelotas rojas y en total son 4, la probabilidad de que salga una pelota roja es:

$\displaystyle {\cal P}(r)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

La probabilidad que salga una blanca es:

$\displaystyle {\cal P}(b)=\frac{1}{4}$

y es igual a la probabilidad de que salga negra: ${\cal P}(n)=\frac{1}{4}$ . Se plantea la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que la pelota que salga no sea negra? El evento en cuestión está representado por el conjunto: $A=\{r,b\}$ . El número de casos favorables al evento es 3, pues hay 2 pelotas rojas y una blanca. Así,

$\displaystyle {\cal P}(A)=\frac{3}{4}$

Probabilidad Frecuencial

En muchos casos la Estadística se combina con los cálculos de Probabilidades con el fin de obtener información importante, a partir de la recolección de datos y su análisis. Por ejemplo, supóngase que se tienen datos estadísticos acerca de 500 individuos en edades entre 20 y 25 años que ingresaron a la Escuela Básica y se retiraron en alguna etapa de su educación, o continuaron hasta graduarse de bachilleres; se clasifican en los siguientes grupos:

1. Se retiran de la Educación formal antes de aprobar el $6^{\circ}$ grado de Educación Básica.

2. Se retiran de la Educación formal después de aprobar el $6^{\circ}$ grado y antes de aprobar el $9^{\circ}$ grado.

3. Se retiran de la Educación después de aprobar el $9^{\circ}$ grado y antes de aprobar el $2^{\circ}$ año del Ciclo Diversificado.

4. Se gradúan de bachilleres.

Los datos son los siguientes:

Grupo 1	Grupo 2	Grupo 3	Grupo 4
105	250	100	45

La frecuencia relativa con nociones de Estadística de cada grupo es:

Grupo 1:	$\displaystyle \quad\quad \frac{105}{500}=\frac{21}{100}$	Grupo 2:	$\displaystyle \quad\quad\frac{250}{500}=\frac{1}{2}$
Grupo 3:	$\displaystyle \quad\quad\frac{100}{500}=\frac{1}{5}$	Grupo 4:	$\displaystyle \quad\quad\frac{45}{500}=\frac{9}{100}$

En base a estos datos, se puede inferir que, si se escoge un individuo al azar en la población estudiada, la probabilidad de que sea bachiller es igual a la frecuencia relativa del grupo 4: $\frac{9}{100}$ . Este cálculo de la probabilidad de un evento como la frecuencia relativa del mismo es lo que se denomina ``probabilidad frecuencial''.

Si se denota por el evento: ``que un individuo de la población estudiada no haya aprobado $9^{\circ}$ grado'' , entonces los individuos que conformarían la ocurrencia del evento son los del Grupo 1 y el Grupo 2. Así, ${\cal P}(A)=$ Frecuencia relativa Grupo 1 + Frecuencia relativa Grupo 2.

$\displaystyle {\cal P}(A)=\frac{21}{100}+\frac{1}{2}=\frac{21+50}{100}=\frac{71}{100}$

Esta probabilidad podría bien expresarse como un porcentaje:

${\cal P}(A)=71\%$