matematica

Entre los temas de Matemática que se estudian en la Tercera Etapa de Educación Básica hemos elegido los más relevantes comprendidos en las áreas de: Aritmética, Álgebra y Geometría.

En la exposición de estos temas se ha intentado estimular la reflexión del estudiante en torno a las ideas matemáticas presentadas. Se ofrecen diversas oportunidades de interacción que permitan profundizar en los conceptos estudiados y ejercitarse en las destrezas necesarias para el completo afianzamiento de las ideas involucradas.

En el área de Aritmética se han incluido las nociones básicas
acerca de los números y sus operaciones, comenzando con los números naturales, para pasar luego a considerar los números enteros (positivos y negativos), los racionales y los irracionales.

La idea de proporcionalidad también se expone junto con diversos ejemplos.

Se presentan breves esbozos de la historia del surgimiento de cada una de las familias de números consideradas, y se ofrecen variadas oportunidades de interactuar para ejercitarse en las destrezas adquiridas y evaluar el propio progreso.

Sumas y restas de fracciones

La idea del número fraccionario fue desarrollada no sólo por los egipcios, sino también por los babilonios y más tarde por los griegos seguidores del gran sabio Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C. y desarrolló una verdadera filosofía del número.

Los pitagóricos, como fueron llamados los seguidores de Pitágoras, consideraban a los números no sólo como cantidades sino como los elementos que regían al Universo.

Los números eran asociados a todos los fenómenos conocidos y el Universo era concebido en términos de relaciones matemáticas.

Si dos fracciones tienen igual denominador, se sabe que representan porciones de una cantidad que ha sido dividida en un mismo número de partes, o en el caso de fracciones impropias, números naturales más una fracción de la unidad también dividida en el mismo número de partes.

Multiplicación y División de Fracciones

El Papiro de Rhind contiene 85 problemas resueltos y algunos de ellos incluyen fracciones, sólo aquellas con numerador 1, con excepción de .

Para escribir las fracciones unitarias, los egipcios usaban el signo de un óvalo sobre el número que designaba el denominador. Por ejemplo:

Papiro de Rhind

Los egipcios representaban el número uno mediante el símbolo | y el número 10 mediante el símbolo .

Es bien sabido que multiplicar significa sumar al 4 consigo mismo 7 veces. Así, puede también multiplicarse y el resultado es igual a lo que se obtiene al sumar

Y esto se obtiene también así:

En realidad, siempre puede escribirse cualquier número entero de la manera en que se ha escrito el 3 en la multiplicación anterior:

Ahora, ¿cómo podría interpretarse la multiplicación? :

Gráficamente se representan las dos fracciones:

Si se dibuja ahora el pedazo que representa , y tomamos las dos terceras partes de ese pedazo, se obtiene:

¿Qué parte del rectángulo mayor representa el área sombreada? se observa que, si se dividiera cada quinta parte en tres partes iguales, se obtendrían en total 15 partes iguales. Entonces, los pedacitos obtenidos representan cada uno. Como el área sombreada está formada por 2 de estos pedacitos, se tiene que esa área es igual a .

Esto es, en definitiva, lo que se obtiene al multiplicar : las dos terceras partes de , que son exactamente del total. Es decir,

Este resultado se ha obtenido a partir de las figuras, para comprender mejor en qué consiste multiplicar dos fracciones, pero ya se sabe que para multiplicar estas dos fracciones, basta con hacer lo siguiente:

Es importante observar algunos casos muy sencillos de multiplicación de fracciones, para aprender el significado del producto. Por ejemplo:

Cuando se multiplica por 10, se obtiene 5, que es la mitad de 10.

Al multiplicar cualquier número por se obtiene la mitad de ese número.

En particular, si se multiplica

se obtiene , que es la mitad de .

Análogamente, si se quiere calcular la tercera parte de cualquier número, simplemente se le multiplica por . Por ejemplo, la tercera parte de 210.000 es

y la tercera parte de es

Supóngase ahora que alguien recibió una herencia que consiste en las tres quintas partes de la cantidad de 10.000.000 de bolívares. Para determinar esta cantidad, sencillamente se multiplica por 10.000.000. Como , se tiene:

Si el heredero sabe manejar bien las operaciones con fracciones, no se dejará engañar y sabrá exactamente lo que le corresponde. Mucha gente es engañada por no conocer operaciones tan sencillas como la que se acaba de realizar.

Supóngase ahora que la herencia que deja un hacendado a sus cuatro hijos es una hacienda de 60.000 hectáreas. Su última voluntad fue que se repartiera en partes iguales entre los cuatro. Resulta que uno de los hijos, Juan, quiere repartir de inmediato lo que ha heredado entre su esposa y su hijo. A la esposa, Sofía dejará un tercio de su herencia y a su hijo Pedro, los dos tercios restantes. ¿Qué cantidad de hectáreas le tocarán a Pedro y qué cantidad a su madre?

Podría buscarse la respuesta a la pregunta planteada por dos vías:

1) se sabe que Juan recibirá del total de la hacienda, y por otra parte, su hijo Pedro recibirá de lo que heredó su padre. Por lo tanto, la fracción de la hacienda que recibirá Pedro es igual a:

por ser el total de hectáreas igual a 60.000, tenemos que la cantidad de hectáreas que Pedro recibirá es exactamente

por otra parte, la madre de Pedro recibirá de lo que recibió su esposo. Por lo tanto, la fracción de la hacienda que ella recibirá es

ahora, de 60.000 es igual a

La madre de Pedro recibirá, entonces, 5.000 hectáreas.

2) Podría también calcularse directamente la cantidad de hectáreas que heredó Juan:

ahora, de esa cantidad, Pedro recibirá dos terceras partes, y para calcular esto, basta con multiplicar:

para calcular la cantidad de hectáreas que le tocaron a la esposa de Juan, como se sabe que a ella le toca una tercera parte de lo que heredó Juan, se multiplica:

Se ve que por ambas vías se obtienen los mismos resultados. Es muy importante comprender bien el por qué se realizan las operaciones en cada caso.

Ahora se examinará otro ejemplo:

Mariela va para una fiesta de cumpleaños y allá le dan una cuarta parte de la torta para que la reparta en su casa entre sus tres hermanos. El resto de la torta la reparten en partes iguales entre las 9 personas presentes en la fiesta. Mariela se preguntaba, al picar en 3 partes iguales el pedazo de torta que le regalaron para sus hermanos, si el pedazo que ella comió sería más grande o más pequeño que el que comerían sus hermanos. ¿Podría Mariela tener una respuesta a esa pregunta?
¿Serán las Matemáticas, o será la torta lo que captura el interés de Mariela?

Primero se verá cuánto le tocará comer a cada hermano (si es que Mariela no hace trampa):

Cada uno comerá una tercera parte del pedazo que ella trajo a casa, que es un cuarto del total. Por lo tanto, comerán la siguiente fracción de la torta completa:

Comerán , es decir la doceava parte de la torta.

por otra parte, de las tres cuartas partes que
quedaron para los que estaban en la fiesta,
Mariela se comió una novena parte, es decir, la fracción de la torta completa que ella comió, fue:

De manera que lo que Mariela comió es igual a lo que comieron sus hermanos, si es que el interés de ella por las Matemáticas y la justicia no es menor que el que tiene por la torta.

Se estudiará ahora la multiplicación de fracciones con signos. Al observar que la multiplicación de dos fracciones se realiza multiplicando números enteros (los que están en los numeradores por un lado, y los que están en los denominadores por otro), se comprende que las leyes que gobiernan el producto de números enteros, siguen siendo válidas en el producto de fracciones.

Si se multiplican fracciones con signos distintos, se obtiene una fracción negativa como resultado. Por ejemplo:

Si se multiplican dos fracciones con igual signo (ambas positivas o ambas negativas) entonces el resultado es positivo. Por ejemplo:

Ejercicio: toma una hoja de tu cuaderno y efectúa los siguientes productos de fracciones, y simplifica, si es posible, la fracción que obtienes como resultado:

tabular1134

Debes haber observado algo curioso en los ejercicios 2) y anteriores. En ambos, el resultado es igual a 1. ¿ Podrías decir por qué ocurre esto?

En general, siempre que el producto de dos fracciones da como resultado el número 1, se dice que son inversas, o que una de ellas es la inversa de la otra. Por ejemplo, la inversa de es , y la inversa de es . En muchos casos la inversa de una fracción es un número entero, por ejemplo: la inversa de es .

Ejercicio: escribe en tu cuaderno la inversa de cada una de las siguientes fracciones: , , y

División

Se sabe que la división es una operación inversa a la multiplicación, pues cuando se multiplica al número 5, por ejemplo, por el número 3 se obtiene el 15, y si se divide el 15 entre 3, se vuelve a obtener al 5. Ahora, cuando se va a dividir una fracción entre otra, simplemente se hace como en el ejemplo siguiente:

En la operación anterior, se ha multiplicado al dividendo ( ) por el inverso del divisor. En este caso, el divisor es y su inverso, por supuesto, es .

De manera que, si se ha aprendido bien a multiplicar fracciones, la división no resultará nada difícil.

Otros ejemplos:

se puede realizar la división de fracciones directamente haciendo lo que algunos llaman "multiplicación en cruz". Como se ha visto que para dividir, por ejemplo:

debe invertirse la fracción , y luego multiplicarla por , la multiplicación en cruz lo que hace es dejar las dos fracciones tal como están y multiplicar así:

Puede escogerse la manera de dividir fracciones que se prefiera. Lo importante es tener siempre muy claro que las dos formas son equivalentes y hay un sólo resultado correcto.

Orden en los números racionales. Potenciación con base en Q y exponente en Z
Es interesante observar que los matemáticos egipcios, al no tener una manera de escribir fracciones como, por ejemplo , con numerador distinto de 1, las expresaban como suma de otras con numerador igual a 1. En el caso de , esta fracción era expresada como la suma: En efecto, Para los matemáticos modernos no queda muy claro por qué usaban, para expresar , la suma y no la más evidente
Orden en los Números Racionales El conjunto de todos los números fraccionarios, sean positivos o negativos, es llamado el conjunto de los Números Racionales, y se representa con la letra Q. En vista de que los enteros se pueden escribir como fracciones, el conjunto de los números racionales contiene a todos los naturales y a los enteros negativos. Hay una manera de representar sobre una recta horizontal los números enteros, positivos y negativos:

Sobre esa recta es posible también representar a los números racionales. Por ejemplo, se sabe que es la mitad de 1, por lo tanto está ubicado justo en el punto medio del segmento que une al 0 con el 1:

El número está ubicado a la izquierda del 0, y a la misma distancia del 0 que :


Si se quisiera ubicar en esta recta a cualquier otro número racional positivo, debe saberse, en primer lugar, si está entre 0 y 1, es decir, si es una fracción propia. En caso de no serlo, tendría que escribirse ese número como un número entero más una fracción propia. Por ejemplo, el número racional está entre 0 y 1, porque es una fracción propia, pero no es propia, y es conveniente escribirlo así: Ahora se sabe que está entre 5 y 6, porque es igual a 5 más un número que es menor que 1. Pero, ¿cómo saber si es menor o mayor que ? Una manera es la siguiente: se escriben fracciones equivalentes a las dadas y que tengan el mismo denominador. En este caso, se tiene: se han escogido las fracciones con denominador 10 porque 10 es el m.c.m.(5,2). ahora, se comparan: Esto se sabe porque 5<6. Así, regresando a las fracciones originales, se tiene que: Todo está basado en la certeza siguiente: Entre dos fracciones positivas que tengan el mismo denominador, la mayor de ambas es la que tenga el mayor numerador.
Ejemplo: Por otra parte, es bueno saber también lo siguiente: Entre dos fracciones positivas que tengan el mismo numerador, la mayor de ambas es la que tenga el menor denominador. Ejemplo: para reflexionar: ¿Podrías explicar por qué son ciertas las afirmaciones anteriores? Otro ejemplo: se establecerá en qué orden están y . El m.c.m.(7,3) es 21. Las fracciones equivalentes a las dadas, y con denominador igual a 21, son: y . Inmediatamente se comparan los numeradores y se ve que 14<15, por lo tanto , entonces:

Si lograste ordenar correctamente los números dados, continúa, pues lo que sigue será fácil de comprender para ti. Si no lo lograste, lee con cuidado lo que se explicó antes y detecta tu error antes de proseguir con tu lectura.

Sea ha visto que, si entre dos números enteros positivos cualesquiera a y b, se tiene que a <b, entonces -a >-b . Por ejemplo:

Lo mismo ocurre con los números racionales. El número racional está más lejos del 0 ( y a su derecha) que , pues

por lo tanto, el opuesto a , que es , está más lejos del 0 (y a su izquierda) que . Por eso,

Ocurre algo interesante con la multiplicación de números racionales, que la diferencia de la multiplicación de los naturales. Al multiplicar un número entero positivo por otro, el resultado siempre es mayor que cada uno de los números que se han multiplicado:

No es siempre así cuando se trata de racionales. Por ejemplo:

en este caso, ambos factores son mayores que el producto. Pero puede ocurrir de otra manera también:

Aquí tenemos que , mientras que .

es decir, uno de los factores es menor que el producto ( ), y el otro es mayor que el producto ( ).

por otra parte, se puede también dar un ejemplo en el cual ambos factores son menores que el producto:

en este caso, y también .

Obsérvese con cuidado cada uno de los tres ejemplos.

En el primero, , ambos factores son fracciones propias, es decir, números menores que 1 y mayores que cero.

En el segundo,

se tiene que y .

en el tercer caso,

ambos factores son mayores que 1.

Potenciación con base en Q y exponente en Z

Después de haber estudiado la suma, la resta, la multiplicación y la división en Q, se estudiará la potenciación con base en Q y exponente en Z.

Potencias como

serán estudiadas ahora y se verá que el resultado de esa operación no es un número entero, sino un número fraccionario.

Al multiplicar

se obtiene , y eso se ha obtenido aplicando las leyes de lapotenciación.

De manera que es el inverso de , puesto que al multiplicar estos dos números se obtiene la unidad como resultado. Entonces, no queda otra alternativa que escribir:

puesto que , y ya se sabe que el inverso de toda fracción se obtiene al intercambiar numerador por denominador en la fracción original.

Así, por ejemplo

en general, cuando se eleva un número racional a un exponente entero n, sea éste positivo o negativo, se tiene

por ejemplo:

ahora, si el exponente es negativo:

esto es lo que se esperaría que ocurriera si deben cumplirse las leyes de la potenciación en N, para potencias con números racionales en la base .

Así , para cualquier número racional y cualquier entero positivo n se cumple que:

displaymath2533

Puesto que

Las leyes de potenciación que valen en N y Z siguen siendo válidas:

Pero ahora se debe agregar la siguiente:

Un ejemplo donde se usa esta última propiedad, es el siguiente

Otro caso podría ser:

Esta última propiedad es muy útil para simplificar ciertos cálculos. Por ejemplo, si se quiere dividir , y no hay calculadora a la mano, se escriben el dividendo y el divisor como producto de sus factores primos:

Luego,

Proporciones

Los arquitectos en la Grecia antigua tenían muy en cuenta las proporciones a la hora de diseñar los edificios importantes de la ciudad. Había una proporción en particular que era muy especial para quienes diseñaban las edificaciones. Se puede decir que era la preferida. Fue incluso llamada la proporción divina, o proporción áurea, y el número que la representaba era llamado el número de oro. En el diseño de una fachada rectangular como la siguiente, si la medida de la altura es a y la medida del ancho es b, entonces la proporción entre a y b ( para que sea la proporción áurea) debe cumplir lo siguiente:

Esa misma proporción se encuentra en algunos triángulos contenidos en el pentágono regular, considerado por los pitagóricos un símbolo universal de salud. belleza y amor.

Por ejemplo, los segmentos EG y FG guardan entre ellos la proporción áurea, porque

Es decir:

Como esta proporción, existen en total 20 dentro del pentágono regular.

Además, el pentágono FGIHJ que se construye al trazar las diagonales del pentágono ABCDEes también regular, y si se trazan las diagonales de FGIHJ obtenemos otra estrella de cinco puntas como la primera. Este proceso se lleva a cabo sucesivamente tantas veces como se desee y siempre se obtendrán pentágonos regulares dentro de estrellas de cinco puntas, con infinidad de proporciones áureas por dentro.

En el lenguaje común se expresa la idea de proporción con cierta frecuencia. Por ejemplo:

1) "La proporción de agua requerida para la preparación de un jugo a partir de un concentrado está especificada en las instrucciones de preparación del producto''.

2) "La reacción de Carlitos ante mi crítica fue desproporcionada''.

3) "El diseño de este edificio guarda proporciones armoniosas''.

4) "El sueldo mensual de cada trabajador es proporcional al número de horas semanales que trabaja''.

En el ejemplo 1), se usa la palabra "proporción'' para señalar la cantidad de agua que debe usarse para diluir cada lata o cartón de jugo concentrado en la preparación de jugo para el consumo. Por ejemplo, en las instrucciones podría leerse: "Mezcle 4 vasos de agua por cada lata de jugo concentrado".

La idea de proporción, en este caso, se refiere a la relación que debe mantenerse entre la cantidad de jugo concentrado y la cantidad de agua que se usará para diluirlo. Se están comparando dos cantidades: la de jugo concentrado con la de agua necesaria para su preparación.

Si se desea preparar jugo con 2 latas de concentrado, ¿cuántos vasos de agua se usarían?

En el ejemplo 2), se está comparando una crítica a Carlitos con su reacción. Al decir que ésta fue "desproporcionada'', generalmente se quiere expresar que la reacción fue mucho más violenta que la crítica que la generó. De nuevo, se están comparando dos magnitudes o cantidades: la "cantidad'' de ira, violencia o severidad que hubo en la crítica, con la que hubo en la reacción.

En el ejemplo 3), se habla de "proporciones armoniosas'' en una edificación. Una vez más, la palabra "proporción'' se refiere aquí a una relación o comparación entre las medidas del edificio. Podría ser la relación entre la altura y el ancho de la fachada principal, entre la altura y el ancho de las ventanas, etc.

Es muy importante notar que una misma proporción puede darse entre las medidas de un rectángulo pequeño así como entre las medidas de otro mucho más grande. Así, por ejemplo, la proporción entre el lado menor y el lado mayor en los siguientes rectángulos es .

en ambos rectángulos, el lado mayor mide el doble de lo que mide el lado menor.

En el ejemplo 4), se dice que el sueldo de cada trabajador es proporcional al número de horas semanales que trabaja. Supongamos que un trabajador labora 20 horas semanales. ¿Qué dato sería necesario conocer para determinar el sueldo mensual del trabajador?

Se observa en los cuatro ejemplos anteriores que el significado de la palabra PROPORCIÓN tiene que ver con la comparación de dos cantidades.

Cuando se comparan dos cantidades, puede intentarse precisar qué tanto mayor es una que la otra diciendo, por ejemplo, que una de ellas es es el doble de la otra. En este caso, se está estableciendo una proporción entre las dos cantidades.

Por ejemplo, si se dice que un grupo de jóvenes hay tres veces más muchachas que muchachos, se está expresando la proporción entre muchachas y muchachos que hay.

Si en ese grupo hay 14 varones, entonces habrá el triple de chicas, es decir, el número de chicas es:

Si en otro grupo de jóvenes hay 5 varones y la proporción es la misma que antes, se concluye que hay muchachas.

Se tienen entonces, dos grupos distintos de jóvenes, con distinto número de personas, pero ambos con la misma proporción entre chicos y chicas. Esa proporción se expresa mediante la fracción

como se ha dicho que por cada chico habrá 3 chicas, con el número 1 del numerador se está expresando la cantidad de muchachos, y con el 3 del denominador, la cantidad de muchachas que habrá por la cantidad de chicos en el numerador. Esto se escribe así porque se habló de proporción entre chicos y chicas (al nombrar primero a los varones, el número que corresponde a estos va en el numerador).

Para cada uno de los grupos mencionados arriba, se escribirá en una fracción las cantidades de chicos y chicas en el numerador y el denominador respectivamente:

Primer grupo:

Segundo grupo:

Obsérvese ahora que

y

es decir, son fracciones equivalentes.

Ejercicio: si quisiéramos ahora saber qué cantidad de muchachos habría en un grupo que tenga la proporción entre chicos y chicas, y que tiene 90 muchachas, ¿qué operación necesitaríamos hacer?

Considerando de nuevo el ejemplo 1), si una lata de jugo contiene la misma cantidad de líquido que un vaso, entonces la proporción entre jugo y agua es , según lo que indican las instrucciones de preparación. ¿Cuántos vasos de agua habrá que añadir a 5 vasos de jugo concentrado para preparar jugo diluido en esa misma proporción?

Observando el ejemplo anterior, se concluye lo siguiente: lo único que hay que hacer es encontrar el denominador de una fracción EQUIVALENTE a con numerador 5. En este caso, como tex2html_wrap_inline574 , el número buscado es 20. Habrá que añadir 20 vasos de agua a los 5 vasos de jugo concentrado.

Una manera de encontrar la respuesta a la pregunta anterior es la siguiente: se plantea la ecuación

para evitar que la x esté en el denominador de una fracción, se multiplican ambos miembros de la igualdad por x y se obtiene:

Multiplicando ambos miembros por 4:

para el que recuerde la "Regla de Tres'', será útil observar que puede usarse también en este caso y obtenerse el mismo resultado:

La solución se obtiene así:

Otro ejemplo:

para preparar una cierta masa, se sabe que la proporción entre agua y harina (atención al orden en que se nombran) es de . Eso significa que para cada 5 tazas de harina deben agregarse 2 tazas de agua. Si se quiere preparar masa con otra medida, por ejemplo, con cucharadas, también debe mantenerse la proporción de 2 cucharadas de agua por cada 5 cucharadas de harina.

Si se quiere preparar masa con 15 tazas de harina, ¿cuántas tazas de agua habrá que agregar?

Usando el método del planteamiento de la ecuación, se obtiene:

como en la fracción el numerador representa la cantidad de agua y el denominador, la cantidad de harina, de la misma manera debe ubicarse en , el denominador 15, que es la cantidad de harina, y el numerador x, que es la cantidad de agua que se quiere determinar.

Resolviendo,

se necesitan 6 tazas de agua para amasar 15 tazas de harina, manteniendo la proporción dada.

Usando la Regla de Tres:

Ahora, se resuelve:

Puede verse ahora que la "Regla de Tres" no es más que una manera de resolver ecuaciones surgidas de problemas relativos a PROPORCIONES.

Si has acertado en tus respuestas, continúa tu lectura. Si no, revisa de nuevo los razonamientos empleados por ti para que detectes el error cometido. Puede ser necesario que leas de nuevo las ideas básicas en torno a proporciones, que han sido expuestas hasta aquí.

En algunos casos se da la proporción de una PARTE en relación a la TOTALIDAD. Por ejemplo, en el ejercicio anterior, la proporción entre vinagre y agua es de , se tiene que:

2 litros de vinagre + 5 litros de agua = 7 litros de agua con vinagre

Entonces, la proporción de agua con la totalidad es de La proporción de vinagre con la totalidad es de

Cuando se compara una parte con la totalidad sólo se nombra a la parte, por ejemplo, se diría: La proporción de vinagre en la mezcla es de , y la proporción de agua es de .

En el ejemplo del grupo de jóvenes, por cada varón hay 3 chicas, es decir, que en un grupo de

jóvenes, 1 es varón y 3 son muchachas.

Luego, la proporción de muchachas es , y la proporción de varones es .

cuando se habla de proporción y sólo se nombra a una parte, se está refiriendo a la proporción entre esa parte y el todo.

A continuación, otro ejemplo. Supongamos que se dice que en una población, la proporción de analfabetas es de . Esto quiere decir que de cada 300 individuos, 1 es analfabeta, es decir, no sabe leer ni escribir. Si esa población tiene 6.000.000 de habitantes, y se quiere saber cuántos saben leer y escribir, se plantea una ecuación que permita encontrar el número de analfabetas que hay, usando la información que ya se tiene: por cada 300 habitantes, 1 es analfabeta.

Entonces hay 20.000 analfabetas, por lo tanto, hay

personas que saben leer y escribir en esa población.

Es importante que lo expuesto hasta aquí sea muy claro para ti, para que lo que se expone a continuación sea también asimilado con facilidad.

Porcentajes

Cuando se habla de porcentajes, en realidad se está hablando de proporciones entre una parte y la totalidad. Por ejemplo:

si se dice que el 12% de los estudiantes del liceo son nuevos este año, lo que se está diciendo es que por cada 100 estudiantes, 12 son nuevos, es decir, la PROPORCIÓN de alumnos nuevos es de . Si en el liceo hay 600 estudiantes, para determinar el número exacto de alumnos nuevos, puede usarse la Regla de Tres:

por lo tanto,

Pero también puede plantearse directamente la ecuación siguiente:

Resolvemos:

Esta es, entonces, otra manera de resolver la ecuación original, que también es correcta.

Se resolverán a continuación otras ecuaciones que exigen un conocimiento adecuado acerca de las operaciones en Q, para su apropiada resolución.

Como se ha visto antes, no hay una única vía correcta para resolver estas ecuaciones, pero sí una única solución correcta.

Números decimales

En el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10. Por ejemplo:

Naturalmente, para sumar las fracciones anteriores basta con tomar
10.000 como denominador común y se obtiene

Este tipo de fracción se llama fracción decimal.

Un ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por ejemplo, escribía

	como
	como
	como

Al sumar estos números, obtenía

Aunque su método no llegó a usarse mucho, su idea fue tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra manera de escribir las fracciones decimales.

Al principio, colocó una línea debajo de los dígitos del numerador, de esta manera:

Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:

Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales.

Sabiendo que el origen de la escritura de los números decimales está vinculado a la necesidad de facilitar los cálculos con fracciones decimales, es bueno notar que luego se encontró la forma de expresar cualquier fracción como un número decimal.

La mayor facilidad para los cálculos radica en que sólo se efectúan las operaciones con números enteros y no ya con fracciones, pues al escribir, por ejemplo, tex2html_wrap_inline516 en la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03) y en realidad esta operación requiere sólo que se multipliquen los números enteros

y luego se le coloca la coma de manera que se obtengan 3 espacios ocupados a la derecha de la coma, y se escribe entonces

Es importante saber que, en los tiempos en que esta idea surgió, no existían, por supuesto, calculadoras que ayudaran a los científicos en la realización de cálculos complicados. En ciertas áreas, como en la astronomía, por ejemplo, los cálculos complicados requerían de mucha precisión.

Los números decimales se usaron finalmente, no sólo para representar fracciones decimales, sino cualquier fracción en general.

Por ejemplo, sabemos que tex2html_wrap_inline520 , lo cual se puede obtener escribiendo como fracción decimal, de la siguiente manera:

se multiplican numerador y denominador por 5, en este caso, pues se sabe que y esa operación permitirá encontrar la fracción equivalente

a que tiene denominador igual a 10:

Otra manera de obtener esto, es la siguiente:

La serie de operaciones mostradas equivale a la división , que se realiza multiplicando el dividendo por 10, por ser menor éste que el divisor:

El paso final de colocar la coma en el sitio correcto equivale a la multiplicación por , en este caso:

De esta manera, es posible encontrar la expresión decimal que corresponde a una fracción cualquiera.

Si la fracción es impropia, se realiza la división del numerador entre el denominador, de la manera usual, y se obtiene la expresión decimal de la fracción.

Por ejemplo:

Ocurre con algunas fracciones algo curioso: cuando se realiza la división del numerador entre el denominador, se obtienen cifras decimales que se repiten indefinidamente, como en el caso de .

al efectuar la división, en cada paso se obtiene resto igual a 2 y así, la expresión decimal en cuestión es:

Los puntos suspensivos indican que la sucesión de 6 ¡no tiene fin!

Esta expresión se llama expresión decimal periódica y también se escribe así:

El número que se repite, en este caso, el 6, es llamado el período de la expresión decimal.

En algunos casos, el período tiene más de una cifra, por ejemplo:

Ciertamente, es interesante la existencia de estas expresiones decimales para números cuya expresión fraccionaria es tan sencilla como .

El período de la expresión decimal periódica de es 142857.

Hay casos en los que la expresión decimal periódica tiene esta forma:

en este ejemplo, el período comienza después de las cifras decimales: 01. Estas dos cifras constituyen el anteperíodo de la expresión decimal.

Como se ha visto, toda fracción se puede expresar como número decimal, bien sea con una cantidad finita, limitada, de cifras decimales, o bien con una cierta cantidad de cifras decimales que se repiten de manera periódica infinitas veces.

Se verá a continuación cómo se logra expresar como fracción, un número que está escrito en su expresión decimal, bien sea con un número finito de cifras decimales, o por un período.

Podría el lector preguntarse si existe la posibilidad de que un número, en su expresión decimal, tenga una cantidad infinita de cifras decimales no periódicas, es decir, que las cifras no se repitan con ningún patrón y que sea ilimitado su número.

La respuesta es que tales números sí existen y son llamadosirracionales.

Es muy importante saber reconocer, entre dos números decimales, cuál es mayor.

Por ejemplo, entre 5,9 y 6,1, sabemos reconocer a 6,1 como el mayor de los dos, porque la parte entera de 6,1 es 6, que es mayor que 5, y no importa que la parte decimal de 6,1 sea 1, mientras que la de 5,9 es 9, que es mayor que 1. Así,

En el lenguaje común se expresa la idea de proporción con cierta frecuencia.

Fracción Generatriz.

Si bien algunas expresiones decimales, como 0,25, pueden expresarse como fracción fácilmente, simplemente escribiendo (en el denominador se escribe porque hay dos cifras decimales en la expresión decimal 0,25), hay otras que a primera vista parecen tener dificultades mayores, como por ejemplo:

Realmente no es tan difícil llevar esta expresión decimal a su expresión fraccionaria, llamada "la fracción generatriz'' del número decimal en cuestión.

La manera de encontrar esta fracción generatriz es la siguiente:

Se multiplica la expresión decimal periódica tex2html_wrap_inline552

por

, escogiéndose la potencia 3 porque el período tiene 3 cifras. Si se llama x a la fracción generatriz, se tiene que

ya que

Restando x a 1.000x se obtiene

Pero, por otro lado,

por lo tanto,

Simplificando, se obtiene

como la fracción generatriz de tex2html_wrap_inline552

Las expresiones decimales periódicas con anteperíodo, como por ejemplo:

también pueden llevarse a su forma fraccionaria. Para encontrar la fracción generatriz de esta expresión decimal, se comienza por multiplicarla por 10:

De esta manera, se obtiene una expresión decimal periódica cuyo período comienza después de la coma, es decir, se elimina el anteperíodo.

De nuevo, se llama x a la fracción generatriz, que, en definitiva, es el mismo número

Así,

ahora,

restando ahora 1000x-10x se obtiene

es decir, 1000x-10x=2982, luego 990x=2982 y

Los Números Irracionales

En el siglo V a.C., una epidemia de peste azotó la ciudad de Atenas, en Grecia, y una cuarta parte de su población falleció por esa causa.

Se cuenta que los atenienses enviaron una delegación a la ciudad de Delfos, para preguntar al dios Apolo cómo podrían combatir la peste.

Según la leyenda, los integrantes de la delegación obtuvieron la siguiente respuesta:

Para acabar con la peste, los habitantes de Atenas debían duplicar el volumen del altar de Apolo. Este altar tenía forma de cubo, y los atenienses duplicaron los lados del altar para cumplir la orden, pero la peste se tornó mucho más violenta. "¿Qué pasó?'', se preguntaron los afligidos atenienses.

Se sabe que el volumen de un cubo de arista igual a es . Por lo tanto, al duplicar la arista del cubo, que fue lo que hicieron los atenienses, se obtuvo un cubo de volumen ; es decir, el volumen del altar no quedó duplicado sino multiplicado por 8.

Las órdenes de Apolo no fueron obedecidas. Después de muchas discusiones se llegó a una conclusión: para que un cubo de arista x se pueda duplicar en volumen, debía construirse un cubo de arista igual a x multiplicada por un número un poco extraño, un número que no era entero ni podía expresarse como proporción entre dos enteros.

Por ejemplo, si el cubo original tiene arista igual a 5cm, su volumen es . Si se construye un cubo que tenga el doble de su volumen, es decir,

su arista será igual a un número x que satisface , es decir,

Si se llama m al número que, elevado al cubo, es igual a 2, tendría que ser , pues

y como , entonces resulta

Ese número m que, elevado al cubo, es igual a 2, y que hoy escribimos como , es el factor por el cual hay que multiplicar a la arista de un cubo para obtener otro cubo de volumen doble. era ese número extraño que intentaban en vano los matemáticos expresar como fracción, o proporción entre dos enteros.

Con el estudio, al pasar de los años, se demostró que esto es imposible, es decir, que , como otros números, no puede expresarse como proporción (también llamada razón) entre dos enteros. De allí que este número y todos los que tienen esa característica, sean llamados irracionales.

El estudio de los números irracionales comenzó con la aparición de los primeros ejemplos de estos números "raros", seis siglos antes de Cristo. Cerca de 2000 años más tarde, se hace más clara la idea de lo que estos números representan, con el trabajo del matemático francés Nicolás Chuquet, (S. XV) y más adelante en el siglo XIX con el desarrollo de las teorías de Dedekind y G. Cantor sobre los irracionales.

Lo primero que se puede decir acerca de un número irracional es que no se puede expresar como una fracción. Esta es la característica que lo define como irracional.

Como todo número racional tiene una expresión decimal que contiene, o bien un número finito de cifras decimales, o bien un número infinito de cifras formadas por la repetición periódica de un número finito de cifras, se puede concluir que un número irracional tiene, en su expresión decimal, una cantidad infinita de cifras no periódicas. En otras palabras, todo número irracional tiene la característica siguiente: su expresión decimal no puede escribirse completa jamás, porque jamás se terminaría de escribir una cantidad infinita de cifras decimales.

Esto hace que sean números realmente difíciles de manejar si se quieren expresar con cierta exactitud. De hecho, con total exactitud no se les puede manipular en operaciones aritméticas por su misma naturaleza.

En lo que sigue se expondrán algunos de los intentos que se han hecho a través de la Historia para encontrar aproximaciones cada vez mejores del número , comenzando por el trabajo de Arquímedes de Siracusa.

La idea de Arquímedes fue la siguiente:

Si se tiene un círculo de radio igual a 1, entonces su área es exactamente igual a .

para aproximarse al valor de , Arquímedes trazó un octógono regular inscrito en la circunferencia, y otro circunscrito a ella:

El área del octógono inscrito en la circunferencia es menor que el área del círculo, y ésta, a su vez, es menor que la del octógono circunscrito.

Área del octógono inscrito : 2,8. Área del octógono circunscrito : 3,3.

Luego, .

Duplicando ahora el número de lados de los polígonos inscrito y circunscrito a la circunferencia, es decir, tomando polígonos regulares de 16 lados para inscribir y circunscribir a la circunferencia, se obtienen áreas mucho más cercanas a .

Así, sucesivamente, se pueden construir polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia, con número cada vez mayor de lados, lo que implica que sus áreas son cada vez más cercanas al área del círculo, que es .

Arquímedes llegó a calcular las áreas de los polígonos de 96 lados, obteniendo:

Área del polígono inscrito (96 lados) : tex2html_wrap_inline637

Área del polígono circunscrito (96 lados) : tex2html_wrap_inline639

Es decir, obtuvo que

en la época de Arquímedes no se sabía que fuera irracional, ni se conocía una expresión racional que aproximara mejor a que las que este brillante matemático encontró.

Más adelante, otros matemáticos obtuvieron mejores aproximaciones de y sólo en la segunda mitad del siglo XVIII se pudo demostrar que es irracional. Recientemente, con la ayuda de las computadoras, las primeras 16 millones de cifras decimales de han sido calculadas.

Las aproximaciones a que se obtienen a través de los polígonos inscritos en la circunferencia son todos números racionales menores que y se llaman aproximaciones por defecto.

Las que se obtienen calculando las áreas de los polígonos circunscritos son números racionales mayores que y se llaman aproximaciones por exceso.

Si se quiere aproximar por defecto el número con un número racional con 7 cifras decimales, por ejemplo, y sabiendo que las primeras 10 cifras decimales de son:

entonces simplemente se toman las primeras 7, pues

Esto es cierto porque

y por otro lado

Como estos dos números racionales tienen el mismo denominador, y entre los numeradores, el orden es

se concluye que

Este número racional: 3,1415926 es una aproximación por defecto de . También lo son: etc.

para obtener una aproximación por exceso, que tenga 7 cifras decimales, se copian las primeras 6 cifras decimales y se cambia la séptima cifra por otra mayor.

En lugar de 3,1415926 se escribe, por ejemplo, 3,1415927 y así

es decir, 3,1415927 es una aproximación por exceso de . para verificar que, en efecto, , se puede escribir

como tiene, en sus primeras cifras decimales 14159265 y

lo mismo ocurrirá con todas las aproximaciones de que tengan hasta la séptima cifra decimal exacta:

y así sucesivamente, se puede comparar 3,1415927 con cualquier aproximación de por defecto, y siempre resultará que 3,1415927 es mayor.

Esto permite concluir que 3,1415927 es mayor que , puesto que si fuera menor que , existiría una aproximación de por defecto que sería mayor que 3,1415927, y se acaba de ver que esto no ocurre.

Ahora, podría alguien hacerse la pregunta: ¿cómo se sabe, con certeza, que un número es irracional?

El hecho de que un número tenga muchas cifras decimales, ya sean 10.000 ó 10.000.000, no quiere decir que sea irracional, pues se ha dicho ya que, si la cantidad de cifras decimales es finita, el número en cuestión es racional.

De manera que, por ejemplo, si alguien intenta calcular y encuentra hasta 10.000.000 de cifras decimales y aún no termina, esto no garantiza que sea irracional, pues si llegase a terminarse la operación en la cifra decimal que ocupa el lugar 20.000.000, sería racional.

Por eso, es necesaria una demostración matemática, irrefutable, que, a través de un razonamiento deductivo, muestre que es irracional.

Por ejemplo, la siguiente es una demostración de ese tipo:

se comenzará por suponer que es racional, y a través de un razonamiento correcto, a partir de esa suposición, se llegará a una conclusión que es falsa. Como esa conclusión se obtuvo a partir de la suposición de que es racional, se concluye que es falso también que sea racional y por lo tanto, es irracional.

Ahora bien, si es racional, es porque existen enteros a y b tales que .

Es decir, se puede expresar como una fracción, y pueden escogerse a y b, de manera que sea irreducible, es decir, que a y b no tengan divisores comunes mayores que 1.

Como , entonces tex2html_wrap_inline735 , por lo tanto

esto quiere decir que es un número par (los números pares son todos los múltiplos de 2) y por lo tanto, tiene que ser par también, porque si fuera impar, sería igual a un número par más 1:

es decir, sería también igual a un número par más 1; dicho de otra manera, sería también impar.

Como es par, , para algún entero k, y entonces

Pero además se tenía que , y entonces

Dividiendo entre 2 ambos miembros, se obtiene

Pero esto quiere decir que también es un número par, y por lo tanto b, igual que a, es un número par.

Si a y b son números pares, ambos tienen al 2 como divisor, y esto es imposible porque se había supuesto al comienzo de la demostración, que el M.C.D. entre a y b era 1.

Así, se concluye que la suposición original de que para ciertos enteros a y b, es falsa.

La demostración de que un número es irracional puede ser muy difícil. De hecho, tomó mucho tiempo a los matemáticos hacer una demostración de la irracionalidad de , hasta que, en la segunda mitad del siglo XVIII, J. H. Lambert logró dar una demostración.

Sin embargo, los misterios de no parecen tener fin. El matemático holandés L. E. J. Brouwer (1881-1966) planteó lo siguiente: es un problema insoluble el saber si es verdadero o falso que en la expresión decimal de existen 100 ceros consecutivos. Como la expresión decimal de es infinita, aunque hasta ahora no han aparecido los cien ceros consecutivos, no se puede asegurar que no aparecerán en algún lugar.

Por otra parte, si llegaran a aparecer los cien ceros consecutivos, se podría cambiar la pregunta por la siguiente: ¿aparecerán, en la expresión decimal de , 1000 ochos consecutivos? Seguiría sin respuesta la pregunta. En realidad, hay infinitas preguntas como ésta, sobre , sin respuesta.

Otro número irracional muy famoso es el que se conoce como el "el número de oro ''y que surge de la llamada "proporción áurea''. (Proporciones). El número de oro es igual a tex2html_wrap_inline787 , y ha sido considerado por muchos como símbolo de la conexión entre el arte y la matemática.

Se dice que un rectángulo ABCD tiene proporción "áurea'' si

Esta proporción la tiene el famoso Partenón, construido en Atenas en el siglo V a.C.

Partenón

Muy interesante resulta la aparición de este número en otros fenómenos de la imaginación matemática y de la naturaleza. Por ejemplo, se considera la siguiente sucesión de números: en la cual, a partir del 3er número, cada uno es igual a la suma de los dos anteriores, y los puntos suspensivos indican que se puede continuar con esta manera de generar los números subsiguientes indefinidamente.

Es la llamada sucesión de Fibonacci, por ser éste el apodo del matemático italiano Leonardo de Pisa, quien la estudió detalladamente, en el siglo XII.

Si se calculan los cocientes de cada número de la sucesión entre su antecesor, por ejemplo:

se obtiene otra sucesión de números racionales que se aproximan cada vez más al número de oro: tex2html_wrap_inline793
eqnarray407

Es decir, los cocientes son aproximaciones por defecto y por exceso del número de oro tex2html_wrap_inline787 , alternándose:

Por defecto	el número de oro	por exceso

Otro dato sorprendente de esta sucesión, es que, el resultado sobre los cocientes, que se aproximan cada vez más al número de oro, ocurre igualmente cuando la sucesión se construye a partir de cualquier otro par de números.

Por ejemplo, las siguientes sucesiones:

ambas tienen la misma propiedad descrita arriba. Las sucesiones de cocientes:

son aproximaciones por defecto y por exceso, cada vez más cercanas al número de oro: tex2html_wrap_inline787 .

En el crecimiento de las hojas en muchos tallos, en la geometría del caracol, y de las espirales en general aparece también el misterioso número de oro.

Notación Científica

El más notable hombre de Ciencia de la antigüedad griega fue sin duda Arquímedes, quien nació en Siracusa, Sicilia, en el año 287 a.C. Además de sus contribuciones geniales a la Matemática y la Física de su época, diseñó maquinaria de guerra totalmente original que permitió a su ciudad natal resistir por dos años los ataques de los romanos, quienes por vía marítima, mantenían un cerco a la ciudad. Espejos que, a distancia, hacían prender fuego a los navíos romanos, catapultas de increíble precisión, y muchas otras ingeniosas armas de gran originalidad impresionaron al general romano Marcelo, quien tenía a su cargo los ataques contra Siracusa.

Arquímedes

Aún hoy los hombres y mujeres de Ciencia se asombran al estudiar los trabajos científicos de Arquímedes. Todos los cálculos fueron realizados por él con gran precisión, en una época en que el sistema decimal de numeración no existía. En aquel entonces, en Grecia los números eran representados por letras.

Cada letra del alfabeto griego representaba un número. Al igual que el sistema de numeración romano, el sistema de los griegos ofrecía dificultades para los cálculos con números grandes.

Los contemporáneos de Arquímedes pensaban que el número de elementos de un conjunto sólo podía ser expresado hasta un cierto límite.

A partir de allí, las cantidades eran consideradas "no calculables''.

Pero Arquímedes se propuso demostrar que, toda cantidad, por muy grande que fuese, podía ser calculada. Con ese fin, escribió un libro llamado Psammit, que significa "computador de arena''. En él, responde a la pregunta siguiente: ¿Cuántos granos de arena son necesarios para llenar todo el Universo?

Para hacer sus cálculos, Arquímedes creó un sistema de numeración apropiado para hacer operaciones con números muy grandes.

Llamó a una miríada, y a , una miríada de miríadas.

Los números eran agrupados, en el sistema de Arquímedes, en intervalos (llamados octavas) de en , de la siguiente manera:

y así sucesivamente.

Arquímedes tomó como ciertas las ideas que tenía el astrónomo Aristarco de Samos sobre el Universo. De acuerdo a esta concepción del Universo, éste era una esfera, en cuyo centro estaba el Sol, y la Tierra giraba en torno al Sol. El radio del Universo sería la distancia entre el Sol y las estrellas inmóviles.

Después de una serie de cálculos complicados, Arquímedes llega a la conclusión de que en el Universo caben aproximadamente granos de arena. En palabras, ese número era expresado así: "mil miríadas de números octavos''. Los "números octavos'' eran aquellos que pertenecían a la 8va octava, es decir, que estaban entre y . Tomando el más pequeño de los "números octavos'', que es , se tiene

De manera que mil miríadas de números octavos sería:

Galaxia

Para los científicos que se ocupan de estudiar
fenómenos y objetos de dimensiones muy grandes,
como los que se estudian en astronomía, por ejemplo, es muy útil la potenciación, porque les permite trabajar y operar con números muy grandes con cierta facilidad.
La distancia que nos separa de la nebulosa de
Andrómeda, por ejemplo, es aproximadamente igual a:

Kms

la cual se puede escribir también como , pues hay 18 ceros a la derecha del 95. Más aún, este número se puede escribir como ó ó .

Todas estas expresiones representan la misma cantidad, y la llamada Notación Científica es aquella que escoge la expresión , por la razón siguiente: el número que multiplica a la potencia de 10 es un número entre 1 y 10.

Para obtener esta expresión a partir del número original que es:

se coloca una marca entre el 9 y el 5

y luego se cuentan los dígitos a la derecha del 9. En este caso, son 19, y esto significa que si se multiplica a 9,5 por se obtiene exactamente el número dado.

Otro ejemplo:

La masa del Sol en kilogramos es:

para expresar este número en notación científica, basta con contar los dígitos que hay a la derecha del 1, que son 30 en total, y se escribe:

El número de moléculas en 22,4 litros de un gas es:

es decir, .

Claramente, la notación científica permite, al menos, escribir de manera más breve los números muy grandes. A continuación se realizarán algunas operaciones con números en notación científica para mostrar que también los cálculos con números muy grandes se facilitan al usar esta notación.

Si se quieren multiplicar los siguientes números, por ejemplo:

se usan las propiedades asociativa y conmutativa del producto, para escribir, equivalentemente,

se multiplica, por un lado y por otro, al multiplicar se obtiene , usando las propiedades de la potenciación.

Finalmente, se obtiene .

Si se realiza una división, por ejemplo:

Puede escribirse la operación indicada como una expresión fraccionaria:

y esto es igual a tex2html_wrap_inline606

Por lo tanto, el resultado de la operación planteada es .

Esto es más sencillo que operar directamente con los números:

Si se trata de sumas y restas de números en notación científica, debe primero observarse si los exponentes de 10 que intervienen en los números en cuestión son números cercanos o no. Por ejemplo, si se quiere sumar:

hay que observar que el segundo sumando es mínimo en comparación con el primero, y en ese caso se considera despreciable esa cantidad; y la suma resulta, de manera aproximada, igual al primer sumando:

Si se trata de la suma de dos números escritos en notación científica, como los siguientes:

(Obsérvese que los exponentes, 28 y 26 son números cercanos).

se escribe, entonces:

Ahora se suman, usando la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto:

se regresa a la notación científica:

Si has realizado estas operaciones correctamente, has comprendido lo necesario para hacer cálculos en notación científica adecuadamente.

Si has cometido errores, regresa a la lectura del texto anterior y asegúrate de comprender bien cada línea leída. Ésta es una clave para la excelencia en Matemáticas: comprender a cabalidad cada detalle leído.

Orden de magnitud

Como se acaba de ver, es útil, a la hora de realizar operaciones con números en notación científica, observar el exponente de 10, esto es, tener claro qué tan grande es un número en relación a otro con el que se deba operar. Esto es lo que se denomina determinar el orden de magnitud de un número expresado en notación científica.

Por ejemplo, el orden de magnitud de 4.500.000.000 es , porque es un número que está entre y . En efecto,

Si se escribe en notación científica, el número en cuestión es .

en general, el orden de magnitud de un número escrito en notación científica

es igual a .

Otros ejemplos:

La distancia entre el Sol y la Tierra es de

en notación científica, esto es m., y el orden de magnitud de este número es .

La distancia aproximada de Plutón al Sol es de 5.910.000.000 Km., es decir, km.El orden de magnitud de este número es .

Los astrónomos usan el término "año-luz'' para representar la distancia recorrida por la luz en 1 año.

La velocidad de la luz es de km/seg. para calcular, en kilómetros, la distancia que representa un año-luz, hay que conocer la cantidad aproximada de segundos que tiene 1 año. Sabiendo que esta cantidad es , en un año la luz recorre:

Notación científica para números extremadamente pequeños.

Así como los científicos usan números gigantescos, también utilizan números muy pequeños, como el que representa la masa de un protón, una de las partículas del átomo:

como las potencias con exponente negativo representan inversos de potencias positivas, es decir, por ejemplo:

y el inverso de es un número muy pequeño, son las potencias con exponente negativo precisamente las que permiten expresar números como la masa de un protón de manera más breve:

El exponente -24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que tiene el número en cuestión hasta llegar al primer dígito distinto de cero (contando este dígito).

La carga de un electrón es

en notación científica: Coulomb.

A continuación se realizarán algunas operaciones usando notación científica para números muy pequeños.

Lo único que se ha utilizado son las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, así como las propiedades de la potenciación.

Para realizar la siguiente división:

se puede escribir así:

, y

por lo tanto, el resultado es . ¡Un número extremadamente grande!

Este resultado podría parecer extraño: al dividir un número muy pequeño entre otro más pequeño aún, se obtiene un número muy grande.

Sin embargo, no es tan extraño como parece. Más bien es lógico:

Si se comparan las fracciones

Si n < m, se sabe que

Así, en una división, mientras más pequeño sea el divisor, más grande será el cociente.

Radicación

La visión del Universo que tenían el gran sabio griego Pitágoras de Samos y sus discípulos, los llamados pitagóricos, estaba dominada por sus ideas filosóficas acerca del número. Decían que el número natural y las proporciones entre números naturales gobernaban todo cuanto existía.

Un descubrimiento hecho por los mismos pitagóricos demostró que esta afirmación era falsa. Descubrieron la existencia de un número que no era natural y tampoco se podía expresar como fracción alguna.

Todo comenzó con el llamadoTeorema de Pitágoras. Se llama Teorema a toda afirmación matemática importante que es demostrada de manera rigurosa, irrefutable. El Teorema de Pitágoras afirma que, en todo triángulo rectángulo, el lado mayor, llamado hipotenusa, elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos.

Se sabe que

es igual al área del cuadrado cuyo cuyo lado esa (potenciación en N ). Así, lo que el Teorema de Pitágoras afirma es lo siguiente: las áreas de los cuadrados cuyos lados son a y b, al sumarse, dan el área del cuadrado cuyo lado esc.

En todos los triángulos rectángulos quizás el de apariencia más sencilla fue el que produjo entre los pitagóricos la gran conmoción de presentar la existencia de una medida que no era expresable como un número natural ni como una fracción.

El triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1 fue el que originó el derrumbe de toda una teoría filosófica.

El triángulo en cuestión es el de la derecha.

El Teorema de Pitágoras asegura que .

Usando un método muy sencillo, los pitagóricos intentaron encontrar números naturales m,n tales que , sin lograrlo nunca. La idea era la siguiente:

se divide un cateto en segmentos de igual longitud (longitud u)

Se intentaba dividir la hipotenusa también en segmentos de longitud u, pero siempre sobraba un segmento de longitud menor que u:

En vista de que había un segmento sobrante, se escogía una medida para el segmento que fuera la mitad de la medida anterior, con la esperanza de que no hubiera ningún segmento sobrante en la hipotenusa. Pero no funcionaba(ver imagen de la izquierda)

Si hubieran encontrado un segmento que cupiera una cantidad exacta de veces tanto en la hipotenusa como en los catetos, digamos, 13 veces en la hipotenusa y 8 veces en los catetos, se tendría que la hipotenusa medía , pues la proporción entre hipotenusa y cateto, que era , también era igual a y así obtendrían tex2html_wrap_inline1177 .

Pero no obtuvieron jamás una medida que cupiera una cantidad exacta de veces en ambos lados del triángulo. Surgió así el primer número irracional, aquel cuyo cuadrado es igual a 2. Casi 2000 años después se le dioel nombre de "raíz cuadrada de dos'' y se creó el símbolo para representar las raíces cuadradas.

Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo , al cual se llama raíz. En los siguientes ejemplos se observa cómo será utilizado este símbolo:

Símbolo	Se lee
	raíz cúbica de 2
	raíz cuarta de un medio al cubo
	raíz séptima de menos cinco
	raíz octava de siete a la menos cinco
	raíz quinta de menos dos tercios a la ocho
	raíz sexta de cinco tercios a la menos uno
	raíz cuadrada de cuatro quintos

Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.

Por ejemplo, en la expresión se tiene Índice=3 y Cantidad subradical=2

Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite. Es decir, significa y se lee "raíz cuadrada de 7''. Es importante recordar ( potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de una potencia con exponente positivo.

Por ejemplo:


: (¿Por qué?)

: (¿Por qué?)

En general, dados cualesquiera números racionales a,b,m,n, las siguientes igualdades son válidas:

Así, algunos de los ejemplos anteriores se pueden escribir de diferentes maneras:

2.

Las expresiones radicales como la del ejercicio 2 de la interactividad anterior pueden simplificarse transformando el exponente, que es una fracción impropia, en suma de una fracción propia más un número entero. Por ejemplo:

Es decir

displaymath1092

Hay muchos casos de expresiones radicales que se pueden simplificar hasta el punto en que la raíz desaparece; por ejemplo:

Pero como , se tiene que .

en casos como estos, se dice que se trata de una raíz exacta.

Ejercicio:

Encuentra 5 ejemplos de expresiones radicales que constituyen una raíz exacta.

Obsérvese que, dada cualquier raíz se tiene que

es decir, que el número multiplicado por sí mismo n veces, o elevado a la potencia n es igual a b.

Por eso, también se tiene que , y éste es el caso de las raíces exactas que se acaban de ver.

La raíz n-ésima de un número no es siempre única: en el caso de , se tiene que y .

es decir, tanto 2 como -2 son raíces cuadradas de 4.

Para evitar ambigüedad en la notación, cuando se escribe se refiere a la raíz positiva de 4, y para referirse a la raíz negativa, se escribe :

por otra parte, , porque , y en este caso, no se puede afirmar que -2 es también raíz cúbica de 8, pues . es decir, .

Debe observarse además que, mientras el índice de una raíz sea un número par, la cantidad subradical debe ser positiva para que la raíz sea un número real:

No es un número real, porque ningún número real elevado al cuadrado es negativo

Si, por otra parte, el índice es impar, la cantidad subradical puede ser positiva o negativa, y la raíz siempre será un número real:

y .

Se tiene ahora la siguiente definición:

Dado un número racional b y un entero positivo impar n, la raíz n-ésima de b es aquel número x que, elevado a la n-ésima potencia, sea igual a b:

Si n es par y b es positivo, entonces , donde x>0 es tal que . Como n es par, y -x es llamada la n-ésima raíz negativa de b.

En resumen, si n es par y a>0, entonces

Si n es impar y , entonces

Radicación

Se sabe que

El triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1 fue el que originó el derrumbe de toda una teoría filosófica.

El triángulo en cuestión es el de la derecha.

El Teorema de Pitágoras asegura que .

Usando un método muy sencillo, los pitagóricos intentaron encontrar números naturales m,n tales que , sin lograrlo nunca. La idea era la siguiente:

se divide un cateto en segmentos de igual longitud (longitud u)

Se intentaba dividir la hipotenusa también en segmentos de longitud u, pero siempre sobraba un segmento de longitud menor que u:

Símbolo	Se lee
	raíz cúbica de 2
	raíz cuarta de un medio al cubo
	raíz séptima de menos cinco
	raíz octava de siete a la menos cinco
	raíz quinta de menos dos tercios a la ocho
	raíz sexta de cinco tercios a la menos uno
	raíz cuadrada de cuatro quintos

Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.

Racionalización

El gran matemático Srinivasa Ramanujan nació en el sur de la India en 1887, y desarrolló gran parte de sus estudios matemáticos como autodidacta, pues no tuvo una formación universitaria.

A los 25 años escribió una carta al reconocido matemático inglés G. H. Hardy, solicitando su atención a los resultados que él había obtenido sobre varios temas de la Teoría de Números. En su carta de 10 páginas, Ramanujan expuso diversos teoremas descubiertos por él y sorprendió a Hardy por su genial originalidad.

Srinivasa Ramanujan

A los 26 años viajó a Inglaterra para trabajar con Hardy, y muchos de sus teoremas fueron publicados más tarde. Escribió cerca de 3.000 teoremas en diversas ramas de las Matemáticas.

Ramanujan hacía cálculos mentales con una facilidad extraordinaria, y el haber afirmado que $e^{\pi\sqrt{163}}$ es un número entero, es una muestra de su genialidad.

Una anécdota narra que, estando Ramanujan muy enfermo en un hospital de Londres, Hardy lo fue a visitar y le mencionó que había llegado en el taxi número 1.729, número aparentemente banal.

Ramanujan le corrigió explicándole por qué este número era en realidad muy interesante: es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas, pues

$\begin{displaymath} 1729 = 1^3 + 12^3 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} 1729 = 9^3 + 10^3 \end{displaymath}$

La estadía en Londres duró 7 años; luego regresó a India gravemente enfermo y murió al poco tiempo después.

Cuando se trabaja con radicales, es frecuente encontrarse con expresiones fraccionarias que tienen radicales en el denominador, como, por ejemplo:

$\begin{displaymath} \frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} \qquad \frac{1}{\sqrt[7]{4}} \qq... ...}-\sqrt[3]{7}} \qquad \frac{\sqrt[4]{20}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \end{displaymath}$

Para facilitar los cálculos, en estos casos se busca expresar estas fracciones a través de fracciones equivalentes a ellas, pero que no tengan expresiones radicales en el denominador.

Es importante recordar que, dada una fracción, las fracciones equivalentes a ellas son todas aquellas que se obtienen al multiplicar numerador y denominador de esa fracción por un mismo número. Por ejemplo:(ver tabla a la derecha)

1)	$\displaystyle \frac{3}{7} = \displaystyle \frac{15}{35}$	2)	$\displaystyle \frac{3}{7} = \displaystyle \frac{12}{28}$
3)	$\displaystyle \frac{3}{7} = \displaystyle \frac{6}{14}$	4)	$\displaystyle \frac{3}{7} = \displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}$
5)	$\displaystyle \frac{4}{10} = \displaystyle \frac{2}{5}$	6)	$\displaystyle \frac{20}{8} = \displaystyle \frac{5}{2}$

En los ejemplos del 1) al 4), se ha multiplicado al numerador y al denominador de $\frac{3}{7}$ por números mayores que la unidad. ¿Puedes decir cuáles son esos números?

En los ejemplos 5) y 6), en cambio, los factores que se han escogido para multiplicar por numerador y denominador, son menores que la unidad. En el caso 5), el factor que multiplica a 4 y a 10 es $\frac{1}{2}$ :

$\begin{displaymath} \frac{4}{10} = \frac{4\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{2}\... ...0\cdot \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)} = \frac{2}{5} \end{displaymath}$

Si has respondido correctamente, no encontrarás mayores dificultades en lo que sigue, pues comprendes bien lo que son fracciones equivalentes y cómo se generan. Si no has acertado en tu respuesta, es posible que haya sido por una falla de cálculo aritmético, o por falta de comprensión de lo que son fracciones equivalentes. Si esto último es el caso, revisa de nuevo ese tema con cuidado antes de proseguir.

Ahora se verá de qué manera se puede encontrar una fracción equivalente a $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , por ejemplo, que tenga la propiedad de no poseer radicales en el denominador.

Se sabe que

$\begin{displaymath} \sqrt{2}\sqrt{2} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2 \end{displaymath}$

y por lo tanto, al multiplicar numerador y denominador de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\sqrt{2}$ , se obtiene:

$\begin{displaymath} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1\left(\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2} \left(\sqrt{2}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{displaymath}$

Es decir, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ es la fracción equivalente a $\frac{1}{\sqrt{2}}$ que se buscaba. Este proceso se llama Racionalización, y a continuación se verán algunos otros ejemplos que mostrarán en qué casos se puede llevar a cabo con facilidad.

En el área de Geometría se ha seleccionado el estudio del triángulo
como centro de toda la exposición. En torno a esa idea, se presentan
las propiedades de las rectas paralelas y secantes, considerando los
ángulos que forman estas últimas. Luego se estudian las propiedades
más elementales de los triángulos, sus clasificaciones, la
congruencia de triángulos, el Teorema de Pitágoras y la semejanza de
triángulos, junto con el Teorema de Thales. Se hacen demostraciones
sencillas de los hechos más básicos y se propone al usuario la
ejercitación en el arte de la demostración de afirmaciones
matemáticas, a partir de verdades ya establecidas, práctica ésta que
se ha visto abandonada, lamentablemente, en el nivel medio de
Educación de nuestro país, salvo raras excepciones. Se espera, pues,
estimular a estudiantes y docentes al cultivo de esta práctica tan
formativa desde el punto de vista intelectual.

Rectas Paralelas y Secantes

Euclides nació en Grecia a finales del siglo IV a.C. y estudió en la Academia fundada por Platón.

Aunque se le conoce más por su obra "Elementos", donde expone brillantemente la Matemática que hasta aquel momento habían desarrollado los griegos, escribió sobre diversos temas, como música y óptica. También escribió una obra titulada "Sofismas", cuyo fin era ejercitar la inteligencia.

Euclides

Cuenta la historia que el rey Ptolomeo preguntó a Euclides, al constatar lo voluminosa que era su obra "Elementos", si no había un camino más corto para estudiar y dominar la Geometría. Euclides le respondió: "En Geometría no existe un camino especial para los reyes".

Muchas teorías matemáticas interesantes han surgido de la reflexión profunda en busca de una solución para ciertos problemas que plantea la vida cotidiana. Otras, sin embargo, han sido el fruto de la curiosidad extraordinaria de algunos matemáticos, y su deseo de descubrir leyes inquebrantables que gobiernen el comportamiento de los objetos matemáticos.

Río Nilo

Por ejemplo, la Geometría fue estudiada por los egipcios para resolver cuestiones de agricultura. El río Nilo tenía períodos de grandes crecidas que dejaban bajo sus aguas grandes extensiones de tierra cultivable.

Cuando descendía el nivel de las aguas, en estas tierras ubicadas en los márgenes del río se habían borrado los linderos de las parcelas, y le correspondía a los funcionarios del gobierno colocar de nuevo los límites para evitar conflictos entre los agricultores.

La Geometría fue una herramienta útil en estas actividades, y entre los egipcios se desarrolló con fines muy prácticos. Para los griegos, por otra parte, las Matemáticas y en particular la Geometría tenían un carácter casi filosófico. A través de su estudio, se pretendía encontrar verdades absolutas en ese mundo de las ideas y de las figuras geométricas. El interés por resolver problemas prácticos no era el que impulsaba el desarrollo de la Matemática.

Geometria

En ese espíritu de curiosidad por las relaciones entre los elementos de las figuras geométricas, se construyó la Geometría en la Grecia antigua y Euclides recogió todo ese conocimiento en su gran obra, "Elementos".

Rectas Paralelas y Secantes.
Cuando dos o más personas se disponen a jugar algún juego de mesa interesante y alguno de los jugadores desconoce por completo el juego, lo primero que deben hacer los conocedores es explicarle con cuidado cómo se juega: se nombran los objetos que se utilizan y se determina cómo se deben utilizar. Todas las reglas del juego deben quedar bien claras desde el comienzo, y es probable que el principiante necesite ayuda para recordar las reglas en los primeros momentos del juego. Llega el momento, luego, en que la práctica le permite jugar con mucha libertad, respetando las reglas que ya conoce a la perfección.

Así puede suceder con la Geometría. Estudiarla equivale a conocer los objetos de los cuales se ocupa (rectas, puntos, ángulos, circunferencias, etc.) y a descubrir poco a poco las reglas del juego que explican cómo se "comportan" esos objetos.

Nuevas reglas del juego van apareciendo a medida que se domina un nivel del juego y se dispone el jugador a conocer etapas más avanzadas del mismo. Por eso, se trata de un juego que nunca aburre porque siempre habrá nuevas etapas por descubrir, y nuevos retos que enfrentar.

Los retos consisten en la resolución de problemas geométricos, tomando en cuenta todo lo que se sabe acerca de los objetos que forman parte del problema.

Para comenzar con los objetos más simples de la Geometría: rectas y puntos, puede iniciarse el estudio de estos objetos considerando algunos hechos básicos:

1) Se estudiarán rectas y puntos de un mismo plano.
2) Dadas dos rectas en un mismo plano, hay dos posibilidades:

a) Las dos rectas tienen un punto en común:

b)Las dos rectas no tienen ningún punto en común, aunque se prolonguen indefinidamente en ambas direcciones: en este caso, se dice que son paralelas.

Por ahora, se estudiarán los ángulos que se forman entre dos rectas secantes, y cuyo vértice es el punto de corte:

Se observa en la figura de la izquierda que hay cuatro ángulos con vértice en el punto .

Es importante recordar lo que es un ángulo llano: es el ángulo formado por dos rayos o semirrectas que pertenecen a una misma recta, y mide $180^{\circ}$ .

Como se ve en la figura de la izquierda, $a+b=180^{\circ}$ y $c+b=180^{\circ}$ .

Simplemente porque y son rectas. En este caso, se dice que y son adyacentes, como también lo son y .

Ahora se puede presentar la primera oportunidad de enfrentar un reto de la Geometría, asociado a las rectas secantes y los ángulos que forman.

¿Será cierto que y que ? Si se quiere "jugar" correctamente el juego de la Geometría, no basta con responder "sí" o "no". Hay que explicar por qué.

Tomando en cuenta la información anterior:

$\begin{eqnarray*} a+b & = & 180^{\circ} \\ \mbox{y} \qquad c+b & = & 180^{\circ} \end{eqnarray*}$
se tiene que: $\begin{eqnarray*} b & = & 180^{\circ}-a \\ \mbox{y} \qquad b & = & 180^{\circ}-c\;, \end{eqnarray*}$

Ahora demostremos que b = d :

Sabemos que d+a = 180 grados y b + a = 180 grados porque m yl so rectas.

Por lo tanto a = 180 grados - d y a = 180 grados - b

es decir,

180 grados - b = 180 grados - d

y así queda demostrado que b = d .

Los ángulos y se llaman "opuestos por el vértice", así como y .

Se acaba de deducir una "regla" importante del juego con rectas secantes en un plano: los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es decir, tienen la misma medida.

Si un ángulo formado entre dos rectas secantes es recto (es decir, mide $90^{\circ}$ ), se dice que las rectas son perpendiculares

A continuación mostraremos que si un ángulo entre dos rectas secantes es recto, también lo son los otros 3 ángulos que se forman:

Observa la figura:

Sabemos que a = c por ser opuestos por el vértice. Como a = 90 grados, c = 90 grados, c+d = 180 grados, por ser c y dadyacentes.

Es decir,

             90 grados + d = 180 grados
                          d = 180 grados - 90 grados
                          d = 90 grados

como d = b por ser opuestos por el vértice, resulta que b = 90 grados.

Ahora se puede avanzar un poco y considerar las posiciones relativas de tres rectas en el plano.

Hay cuatro posibilidades:

1) Las tres rectas son paralelas:

2) Dos rectas son paralelas y una es secante:

3) Las tres rectas son secantes, dos a dos, y hay tres puntos distintos de corte:

4) Las tres rectas se cortan en un solo punto:

Las opciones 2 y 3 generan situaciones llenas de propiedades nuevas e interesantes.

Los triángulos, que surgen de las figuras del tipo 3) se estudiarán más adelante.

En lo que sigue, se explorarán las propiedades de los ángulos que se generan en las figuras del tipo 2).

Para hablar con precisión, hay que comenzar por darle nombres a los ángulos que se forman:

Los ángulos

son opuestos por el vértice, como ya se ha dicho. También lo son

Los ángulos y se dice que son correspondientes.

También lo son y , y , y .

Una propiedad importante de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas, es la siguiente:

Los ángulos correspondientes son congruentes.

Si se hiciera una traslación del punto al punto en el siguiente dibujo, como las rectas horizontales son paralelas, se ve que el ángulo coincidiría con el ángulo .

Así también se puede ver que y .

Por otra parte, se sabe que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, y así, se tiene:

$\begin{displaymath} b=d\;,\;\; a=c\;,\;\; e=g \quad\mbox{y}\quad f=h \end{displaymath}$

De todas estas igualdades, se pueden deducir otras más:

Como por ser opuestos por el vértice y por ser correspondientes, se tiene que .

Los ángulos y se dice que son alternos externos.

También lo son y : como , por ser opuestos por el vértice y por ser correspondientes, se tiene que .

Los ángulos y son alternos internos, tal como lo son y .

Ahora demostraremos , de manera análoga a la que se acaba de usar para ver que los ángulos alternos externos son congruentes, la siguiente propiedad: Los ángulos alternos internos son congruentes.

Hay que ver que c = e y que d = f. Como c = a por ser opuestos por el vértice, y a = e por ser ángulos correspondientes, se obtiene que c = e.

Por otra parte, como d = b por ser opuestos por el vértice y b = f por ser ángulos correspondientes, se obtiene que d = f .

Consideraremos ahora el siguiente pralelogramo:

(los lados son paralelos, dos a dos).

Usando las propiedades estudiadas antes, demostraremos que:

i) b = d
ii) a = c
iii) a + b = 180 grados
vi) a + b + c + d = 360 grados

Se prolongan los lados del paralelogramo como se muestra en la figura:

Se puede ver que las dos rectas horizontales son paralelas (por tratarse de un paralelogramo) y los ángulos y son correspondientes:

Como $a+b'=180^{\circ}$ y , entonces $a+b=180^{\circ}$ . Así, queda demostrada la parte iii).

Por otra parte, las dos rectas no horizontales son paralelas, y por lo tanto, entre los ángulos que ellas forman con la horizontal de abajo, están y , que son alternos internos, por lo tanto , con lo que se demuestra la parte i), porque

Para demostrar las partes ii) y iv), se observa que los ángulos y son correspondientes:

Por lo tanto, . como $d+c'=180^{\circ}$ entonces $d+c=180^{\circ}$ y como $a+b=180^{\circ}$ , se obtiene que $a+b+c+d=360^{\circ}$ , y así queda demostrada la parte iv).

Además y son alternos internos y por eso ; como , se obtiene que , y queda demostrada la parte ii).

Triángulos

Eratóstenes vivió en el siglo III a.C. y principios del II en Alejandría, Egipto, ciudad donde se cultivó el estudio de las ciencias y la filosofía con gran esmero, siguiendo la tradición fundada en Atenas. Sus aportes a la Matemática fueron muy valiosos, conociéndose además sus aptitudes como deportista y dramaturgo. Entre los hallazgos que le dieron fama está el de lograr calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra sin más herramientas que un bastón, una cinta para tomar medidas, un buen conocimiento de la geometría y un gran ingenio. Primero que todo, supuso que los rayos solares inciden paralelamente sobre la Tierra.

Luego, observó que en un lugar al borde del río Nilo, llamado Siena, los rayos del sol caían perpendicularmente sobre la Tierra, justo al mediodía del día 21 de Junio, que es el día del Solsticio de Verano (el día más largo del año en el hemisferio norte). A esa hora, las estacas verticales no producían ninguna sombra sobre el suelo. En ese mismo momento, en Alejandría, al norte de Siena, un palo clavado perpendicularmente en la superficie terrestre, producía una sombra. Eratóstenes clavó una estaca vertical en Alejandría al mediodía del día del Solsticio de Verano y calculó el ángulo formado por la estaca y los rayos del sol:

El ángulo calculado fue de $7^{\circ}$ . Al prolongar el segmento de recta que constituye la estaca hacia el centro de la Tierra se obtiene una recta secante a las prolongaciones de los rayos solares paralelos. Eratóstenes sabía que los ángulos alternos internos que se forman entre dos paralelas y una secante, son iguales. Por eso, el ángulo formado entre Alejandría, el centro de la Tierra y Siena, tenía que ser igual a $7^{\circ}$ también.

Ahora bien, Eratóstenes observó que la proporción entre la distancia entre Siena y Alejandría (794 Kms. aproximadamente) y los $7^{\circ}$ que mide el ángulo que le corresponde, debe ser igual a la proporción entre la longitud de la circunferencia completa de la Tierra y los $360^{\circ}$ que mide el ángulo total que le corresponde. Es decir, si es la longitud de la circunferencia de la Tierra, entonces

$\begin{displaymath} \frac{794}{7} = \frac{l}{360} \end{displaymath}$

Este cálculo le permitió obtener una medida de 40.834 Kms. (aunque en su época se usaba otra unidad de medida, el stadium, distinto al kilómetro).

La longitud real es de 40.000 Kms. Todavía hoy asombra la exactitud de este resultado obtenido por Eratóstenes.

Entre las figuras más simples que se generan a partir de rectas secantes están los triángulos.

Tres rectas secantes dos a dos que no se corten en un único punto, producen un triángulo cuyos vértices son los tres puntos de corte:

Para hacer referencia al triángulo anterior se escribirá $\triangle ABC$ (se lee: triángulo ). También podría escribirse: $\triangle BCA, \triangle CBA$ , etc. El orden en que se dan los vértices no modifica el triángulo.

Se dice que un lado es adyacente a un ángulo si el lado forma parte del ángulo. Por ejemplo, los lados y son adyacentes al ángulo en .

Si un lado no es adyacente a un ángulo, se dice que es opuesto a él: el lado es opuesto al ángulo en , que se escribirá así:

$\begin{displaymath} \angle\: ABC \qquad\mbox{\'{o}}\qquad \angle\: CBA \end{displaymath}$

(La letra del medio representa el vértice del ángulo).

Los ángulos internos del triángulo son:

$\begin{displaymath} \angle\: ABC\;,\quad \angle\: BCA\;,\quad \angle\: CAB \end{displaymath}$

Los ángulos exteriores son aquellos que se forman entre un lado y la prolongación de otro. Por ejemplo: (ver figura a la derecha)

Los ángulos dibujados son ángulos exteriores del triángulo . Pero esos no son los únicos ángulos exteriores del triángulo . también lo son los que se muestran a la izquierda.

Si se dibujan ahora todos los ángulos exteriores al triángulo

, se podrá observar algo interesante:

Entre los seis ángulos exteriores que se forman, hay tres parejas de ángulos congruentes (o iguales):

u = v

x = y

z = w

La razón por la cual estos pares de ángulos coinciden, es una de las propiedades fundamentales de los ángulos que se forman entre dos rectas secantes.

La prolongación del lado BC y la del ladoAC, en ambos sentidos son rectas secantes y los ángulos u y v son opuestos por el vértice. Por lo tanto, son iguales. Lo mismo ocurre con x y y , z y w.

Se distinguen, dentro de un triángulo

, cualquiera, algunos segmentos de recta importantes:

Las alturas:

Son los segmentos trazados desde cada vértice, de manera tal que son perpendiculares al lado opuesto. Por ejemplo, los segmentos , y son las tres alturas del triángulo .

Las tres alturas se cortan en un punto llamado el ortocentro del triángulo.

Puede ocurrir que una altura no corte al lado opuesto al vértice de donde parte, sino a una prolongación de ese lado. Por ejemplo: es la altura correspondiente al vértice , del triángulo .

Las medianas:

Son los segmentos que unen el punto medio de cada lado con el vértice opuesto. Están trazadas en el siguiente triángulo, las tres medianas.

Las tres medianas de un triángulo cualquiera se cortan en un punto, llamado baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo

Las mediatrices:

Las bisectrices:

Como su nombre lo indica, son las bisectrices de los tres ángulos interiores.

Las tres bisectrices se cortan en un punto, llamado el incentro del triángulo.

Hay una propiedad que tienen todos los triángulos, y que es muy importante: la suma de los tres ángulos interiores es igual a $180^{\circ}$ .

Esto significa que cualquier triángulo, independientemente de su forma o tamaño, cumple con esa propiedad; por ejemplo, los siguientes triángulos, todos la satisfacen.

Si se mide con un transportador cada ángulo de un triángulo cualquiera, se constata que, en efecto, la suma de esas medidas es igual a $180^{\circ}$ .

Hay una manera de demostrar que esto tiene que ser así, aunque se trate de un triángulo cuyos vértices sean el centro de la Tierra, el centro de la Luna y el centro de Venus, en un instante determinado de sus trayectorias.

Para demostrarlo, supóngase que se considera el triángulo de la izquierda.

En la demostración se usará sólo el hecho de ser un triángulo, y no alguna propiedad particular de este triángulo.

Para comenzar, se escoge un vértice cualquiera, por ejemplo, , y se traza por una paralela al lado .

Como se trata de una recta, la suma es igual a $180^{\circ}$ .

Por otra parte, se tienen dos paralelas cortando a la secante (o su prolongación)

Como y son ángulos alternos internos, son iguales. Lo mismo se puede decir acerca de los ángulos . Así, por ser:

$\begin{displaymath} x+y+z = 180^{\circ}, \end{displaymath}$

y puesto que

, se tiene que $x+y'+z'=180^{\circ}$ .

Pero , y son los tres ángulos interiores del triángulo . Se ha demostrado, entonces, que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a $180^{\circ}$ .

Demostraremos ahora que todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Es decir, si se considera el triángulo:

Entonces a = b + c (a es un ángulo exterior y b ,c son los ángulos interiores no adyacentes a a).

Se sabe que d + b + c = 180 grados. Por otra parte a + d = 180 grados, por ser a y dadyacentes. Luego,

180 grados - d = b + c
180 grados - d = a

Esto significa que a = b + c

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángulos igual a $90^{\circ}$ . Por ejemplo, los triángulos que se muestran a la derecha son rectángulos. En ambos triángulos, el ángulo en el vértice es recto.

Demostraremos ahora que en un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es igual a 90 grados.

Si se tiene un triángulo rectángulo como el siguiente:

hay que demostrar que a + b = 90 grados.

se sabe que la suma de los tres ángulos interiores es igual a 180 grados , es decir: a + b + 90 grados = 180 grados. Restando 90 grados a ambos miembros de la igualdad, se obtiene:

a + b = 90 grados

Otros triángulos especiales son los siguientes:

Triángulo isósceles:cualquier triángulo que tenga sólo dos lados iguales.
Triángulo equilátero:cualquier triángulo que tenga los tres lados iguales.

El Teorema de Pitágoras

Ya los egipcios en tiempos anteriores a Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C., conocían la relación que existe entre los tres lados de un triángulo rectángulo cualquiera:

$\begin{displaymath} a^2 + b^2 \;=\; c^2 \end{displaymath}$

Lo sabían por experiencia, es decir, habían observado que en todos los triángulos rectángulos que ellos habían tenido la ocasión de conocer (tomar sus medidas, en particular) se cumplía la relación.

Sin embargo, nunca se ocuparon de hacer una demostración que explicara por qué, en cualquier triángulo rectángulo, del tamaño y la forma que fuese, esa relación tenía que cumplirse.

Los griegos de la época en que vivía Pitágoras no usaban los símbolos matemáticos como: , , , que se usan hoy en día, y su forma de escribir esa relación que hoy se llama Teorema de Pitágoras era esencialmente geométrica: sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construían un cuadrado, como en la figura siguiente:

La igualdad que escribimos hoy, ellos la expresaban diciendo que el área del cuadrado construido sobre el lado mayor de un triángulo rectángulo era igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los otros dos lados.

Hay diversas versiones acerca de cómo fue que Pitágoras demostró el teorema que le hizo famoso.

En lo que sigue, se mostrará una de las demostraciones que se cree que dio Pitágoras.

Entre los grandes teoremas de toda la historia de la Matemática, ciertamente está el Teorema de Pitágoras.

Tal vez una de las razones que hay para considerarlo así, sea la simplicidad de su enunciado, unida a la inmensa variedad de aplicaciones que tiene.

Para comprender lo que enuncia el Teorema de Pitágoras, basta con saber lo que es un triángulo rectángulo, y lo que significa elevar un número al cuadrado.

Si es un triángulo rectángulo, y $\angle\: ACB=90^{\circ}$

los lados y son llamados los catetos (son los lados adyacentes al ángulo recto) y el lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto).

El Teorema de Pitágoras asegura que

$\begin{displaymath} (AB)^2 \;=\; (AC)^2+(CB)^2 \end{displaymath}$

Es decir, que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Se cree que la demostración que hizo Pitágoras de ese teorema es la que se muestra en la figura de la izquierda.

El cuadrado tiene lado igual a . Los triángulos , , y son todos rectángulos y todos tienen catetos y y su hipotenusa es igual a .

Cuando se retiran estos 4 triángulos de la figura anterior, queda una figura de área igual a (ver figura a la derecha)

Ahora, se vuelven a colocar los 4 triángulos mencionados dentro del cuadrado , de lado , pero en otra posición. (Figura siguiente).

El cuadrilátero es un cuadrado, porque cada uno de sus ángulos internos es igual a $90^{\circ}$ . Esto se deduce de lo siguiente:

Si $\alpha$ y $\beta$ son los ángulos agudos del triángulo , entonces $\alpha+\beta=90^{\circ}$ , porque $\angle IBH=90^{\circ}$ y la suma de los ángulos internos del cualquier triángulo es igual a $180^{\circ}$ .

Como y son congruentes entonces $\angle\: AIK=\beta$ . como $\beta+\alpha+\angle\: KIH=180^{\circ}$ , y $\alpha+\beta=90^{\circ}$ , entonces $\angle\: KIH=90^{\circ}$

De la misma manera, se ve que los otros tres ángulos internos del cuadrilátero son rectos.

Por lo tanto el área de , porque es la hipotenusa de los 4 triángulos rectángulos.

Ahora, al retirar los 4 triángulos rectángulos, queda el cuadrado de lado (ver figura a la izquierda)

De cualquier manera que se retiren los 4 triángulos rectángulos, la figura que se obtiene al final tendrá siempre área igual. Por eso, . De esta manera, queda demostrado el Teorema de Pitágoras.

A continuación, se resolverá, usando este teorema, un problema que aparece en un libro del siglo XII d.C., escrito por un gran matemático de la India: Bhaskara Akaria.

Un águila se encontraba en la copa de un árbol en cuya base estaba la cueva de una ardilla. El águila observó a la ardilla parada a 15 m. de distancia de la base del árbol:

La ardilla corrió hacia el árbol y el águila avanzó en línea recta hasta alcanzar a la ardilla, antes de que ésta llegara a su cueva. Si la altura del árbol es de 5 metros y la ardilla y el águila recorrieron distancias iguales hasta encontrarse, ¿a cuántos metros de la cueva se encontraron?

Solución:

Según los datos del problema,

$\begin{eqnarray*} AB & = & BC \qquad \mbox{(pues el recorrido del \'{a}guila y ... ...uales)} \\ [.3cm] AD & = & 5 \: m. \\ [.3cm] DC & = & 15 \: m. \end{eqnarray*}$

pues el recorrido del águila y el de la ardilla son iguales. Se pide calcular

Como es un triángulo rectángulo, con ángulo recto en , se tiene, por el teorema de Pitágoras, que:

$\begin{displaymath} (AB)^2 \;=\; (AD)^2 + (DB)^2 \end{displaymath}$

(1)

Por otra parte,

y se sabe que $DC=15\:m$ . Es decir, .
Como , sustituyendo en la igualdad (1) por :

$\begin{eqnarray*} (15-DB)^2 & = & (AD)^2+(DB)^2 \end{eqnarray*}$

Pero

; así

$\begin{eqnarray*} (15-DB)^2 & = & 5^2+(DB)^2 \\ [.3cm] (15)^2-30DB+(DB)^2 & = & 5^2+(DB)^2 \end{eqnarray*}$

Restando

en ambos miembros, se obtiene:

$\begin{eqnarray*} 225-30DB & = & 25 \\ [.3cm] 200 & = & 30DB \\ [.3cm] \displaystyle \frac{200}{30} & = & DB \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath} DB \;=\; \frac{20}{3} \;=\; 6.666\ldots \end{displaymath}$

Entonces, la ardilla cayó en las garras del águila cuando le faltaban aún ¡ $\;6.666\ldots$ metros para llegar a su cueva !

Otro problema del mismo libro de Bhaskara:

Si un bambú de 16 m. de altura se quiebra por el viento de manera tal que la punta toca al suelo a 6 m. de distancia de la base, ¿a qué altura a partir del suelo fue quebrado el bambú ?

Sea la altura que se pide.

Se obtiene un triángulo rectángulo entre los dos trozos de bambú partido y el suelo.

Por el teorema de Pitágoras, se sabe que

$\begin{displaymath} x^2+6^2 \;=\; h^2 \end{displaymath}$

Ahora,

, porque

son las longitudes de los dos pedazos que quedaron del bambú de 16 m. de alto, después de haberse partido.

Entonces . Así,

$\begin{eqnarray*} x^2+6^2 & = & (16-x)^2 \\ x^2+6^2 & = & (16)^2-32x+x^2 \\ 6^2... ...\\ 32x & = & 220 \\ [.3cm] x & = & \displaystyle \frac{220}{32} \end{eqnarray*}$

Finalmente:

$\begin{displaymath} x \;=\; \frac{55}{8} \approx 6.8 \end{displaymath}$

entonces, el bambú se quebró a 6.8 m. del suelo.

Semejanza de Triángulos

Thales de Mileto vivió en el siglo VI a.C., y se le considera el primer matemático que hizo demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico.

Algunos de estos teoremas son:

Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Un haz de paralelas determina, sobre dos secantes a ellas, segmentos proporcionales.

Este último teorema se conoce como el teorema de Thales, y se muestra a continuación una ilustración de lo que expresa:

Si las rectas y son paralelas entonces

$\begin{displaymath} \frac{EC}{AE} = \frac{DB}{FD}. \end{displaymath}$

Gracias a este teorema, Thales pudo calcular la altura de una de las grandes pirámides de Egipto. En la lectura siguiente, se explicará cómo utilizó Thales su teorema en ese caso famoso.

Cuando se habla, en Geometría, de figuras semejantes, se refiere a figuras que son idénticas en todas sus características excepto el tamaño.

Una de las figuras es una ampliación de la otra. Por ejemplo, todas las circunferencias que se muestran en la figura de la izquierda son semejantes.

Igualmente, son semejantes todos los cuadrados:

Entre los rectángulos, ya no hay semejanza general. Por ejemplo, los rectángulos de la figura siguiente no son semejantes.

La razón es muy simple: ninguna ampliación que se haga, del rectángulo , permitirá obtener el , pues cualquier ampliación de produciría un rectángulo con dos lados iguales al doble de los otros dos, y el rectángulo tiene dos lados iguales al triple de los otros dos.

Entre todos los triángulos, hay algunos que son semejantes entre sí, y hay otros que no lo son; por ejemplo, todos los triángulos equiláteros son semejantes.

Pero un triángulo equilátero no es semejante a ningún triángulo rectángulo. (ver figura a la derecha)

Criterios que permiten determinar si dos triángulos son semejantes:

Dos triángulos

son semejantes si cada ángulo interno de

es congruente a un ángulo interno del triángulo

$\angle\: BAC=\angle\: EDF \qquad \angle\: ABC = \angle\: DEF \qquad \angle\: BCA = \angle\: EFD$

Si los triángulos y son semejantes, se usa el símbolo $\sim$ : $ABC\sim DEF$ .

Ahora bien, dado un triángulo cualquiera, una vez que se conocen las medidas de dos de sus ángulos internos, la medida del tercero queda determinada:

Como la suma de los tres ángulos internos de es igual a $180^{\circ}$ , se tiene lo siguiente:

$\begin{eqnarray*} x+45^{\circ}+30^{\circ} & = & 180^{\circ} \\ x & = & 180^{\circ}-(45^{\circ}+30^{\circ}) \\ x & = & 105^{\circ} \end{eqnarray*}$

Es decir, si cualquier otro triángulo

tiene dos de sus ángulos internos con medidas $30^{\circ}$ y $45^{\circ}$ , el ángulo restante tiene que ser también $105^{\circ}$ , y por eso, basta con tener la información sobre las medidas de dos de sus ángulos, para determinar si el triángulo

será semejante a

Una consecuencia del criterio 1 es el siguiente:

No sólo es cierto que si dos triángulos tienen sus lados proporcionales, esos triángulos son semejantes. También lo es que si dos triángulos cualesquiera son semejantes, entonces sus lados serán proporcionales.

Esto hay que aclararlo, porque no es lo mismo decir:

"si me enfermo no voy al cine", que decir: "si no voy al cine, me enfermo".

En el caso de los triángulos semejantes, las dos afirmaciones siguientes son verdaderas:

1	Si $ABC\sim DEF$ entonces $\displaystyle \frac{AB}{BC}=\displaystyle \frac{DE}{EF}\;,\;\;$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}=\displaystyle \frac{DE}{DF}$ y $\displaystyle \frac{BC}{AC}=\displaystyle \frac{EF}{DF}$

2	Si $\displaystyle \frac{AB}{BC}=\displaystyle \frac{DE}{EF}\;,\;\;$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}=\displaystyle \frac{DE}{DF}$ y $\displaystyle \frac{BC}{AC}=\displaystyle \frac{EF}{DF}$ entonces $ABC\sim DEF$

En este caso, los matemáticos suelen decir

$ABC\sim DEF$ si y sólo si $\displaystyle \frac{AB}{BC}=\displaystyle \frac{DE}{EF}\;,\;\;$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}=\displaystyle \frac{DE}{DF}$ y $\displaystyle \frac{BC}{AC}=\displaystyle \frac{EF}{DF}$

Se han selccionado los temas más relevantes del área del Álgebra que
se estudian en la Tercera Etapa de Educación Básica para su
exposición detallada. Las ecuaciones lineales, en primer lugar, con
coeficientes ( y soluciones) en N, Z y Q, son tratadas
separadamente. La descripción del Plano Cartesiano se presenta con
el fin de permitir luego un buen uso del mismo en el estudio de las
funciones lineales y cuadráticas junto con sus gráficas en el plano.
El tema de los polinomios se presenta usando la interpretación de
éstos como expresiones algebraicas que definen a una función
polinómica. Breves introducciones históricas a cada tema y variadas
oportunidades de interacción, complementan la exposición.

Ecuaciones en N

Una de las obras más antiguas de la Matemática que se conocen fue elaborada en Egipto, hace unos 3.600 años. Fue escrita en un papiro de unos 32 centímetros de ancho por 5,5 metros de largo, por un matemático llamado Ahmesu, cuyo nombre significa Hijo de Luna. Ese papiro, conocido como el Papiro de Ahmes, contiene 80 problemas, todos resueltos. Algunos tenían que ver con asuntos de la vida cotidiana de los egipcios (precios de compra y venta de productos, etc.). Otros problemas no se referían a cosas concretas sino simplemente a juegos o adivinanzas con números. Eran problemas parecidos al siguiente:
"Una cantidad, el doble de ella y 3, todos juntos son 27. Díganme: ¿cuál es la cantidad?".
En la escritura de estos problemas y sus soluciones, no se usaban los signos :

+ - =

que ahora conocemos. Todo se escribía en palabras del lenguaje cotidiano. El uso de los signos matemáticos como:

+ - = x

ha facilitado la resolución de muchos problemas matemáticos desde que estos signos surgieron en Europa en la época en que España conquistaba a América.

Un problema como el que se acaba de plantear, en el cual debe encontrarse una cantidad desconocida a partir de ciertos datos relacionados con esa cantidad, se llama una ecuación.

Puede escribirse la ecuación anterior de una manera más simple:

La cantidad + el doble de la cantidad + 3 = 27

La cantidad desconocida que se quiere hallar, se llamaincógnita. Así como hoy en día usamos los símbolos +, -, = en nuestras expresiones matemáticas, usamos letras para representar las incógnitas en las ecuaciones.

La letra que más se usa para representar las incógnitas es la

. La ecuación anterior se podría escribir entonces, usando la

en lugar de la palabra "cantidad":

Se escribe para representar el doble de la cantidad. ¿Puedes explicar por qué?
Resolver la ecuación significa encontrar el valor de la incógnita, es decir, encontrar el número que, al sustituirse por la cumple la igualdad.
Por ejemplo, en el caso de la ecuación

Resolverla significa encontrar una cantidad tal que, al restarle 3, se obtiene 9.
Mentalmente, se puede determinar el valor de la incógnita, pues se sabe que el único número que al restarle 3 nos da 9 es 12.

La solución de la ecuación es  .

Esto significa que al sustituir  por 12 en la ecuación  se cumple la igualdad:  .

Si se sustituye la  por algún número distinto de 12 se obtienen igualdades que NO son verdaderas, es decir, no se cumple la igualdad.

Se sustituye la por 8:

(falso)

Se sustituye la por 4:
(falso)

Hay ecuaciones un poco más complicadas que y que surgen en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Se estudiará a continuación la manera de resolver estas ecuaciones que, por ser más complicadas, no se resuelven mentalmente con facilidad, como la anterior.

Supóngase, por ejemplo, que José envía a un amigo a comprar unos caramelos y le da lo que tiene en el bolsillo: Bs. 210.

El amigo se va al abasto y regresa con 3 caramelos, un lápiz que le costó Bs. 100, y Bs. 50 que le sobraron. El amigo de José lo reta a que adivine el precio de cada caramelo.

Tal vez algunos puedan resolver el problema mentalmente, pero, para aquellos que no, es conveniente plantear la ecuación.

Primero puede escribirse con palabras:

El precio de 3 caramelos + 100 Bs. + 50 Bs. es igual a 210 Bs.

Como la incógnita (la cantidad desconocida que se quiere conocer) es el precio de un caramelo, se puede representar ese precio por la

:

Como el precio de 3 caramelos sería

, la ecuación se escribiría:

Se sabe que sumar es lo mismo que multiplicar , así como sumar 5+5+5 es igual que multiplicar 3 por 5. Es decir, la ecuación anterior se escribe mejor así:

O, mejor aún:

Observando esta ecuación, es posible aproximarse al valor de la incógnita por tanteo, es decir, intentando con distintos números como posibles soluciones.
Se desea determinar un número que, al multiplicarlo por 3 y sumarle 150, dé 210.
Si se sustituye por 5 para comenzar (podría comenzarse con cualquier número), se obtiene:

Al sustituir por 5 se obtiene 165, un número menor que 210. Esto indica que no es una solución. Se toma ahora :

Ahora se obtiene 300, un número mayor que 210.
Esto sugiere que la solución de la ecuación, es decir, aquel número que al sustituirse por en

da igual a 210, ese número deberá ser mayor que 5 pero menor que 50.
Se prueba entonces con :

En efecto, se acerca el resultado a 210 un poco más.
Sea ahora :

En el siguiente cuadro se observan los valores que se han obtenido para la expresión con distintos valores de :

x	3x + 150
5	165
10	180
30	240
50	300

Para reflexionar:

¿Puedes decir algo acerca de la solución de la ecuación al mirar la tabla? ¿Será posible que la solución sea un número mayor que 50? ¿Y menor que 10? ¿Entre cuáles números podrías ubicar a la solución?

Por esta vía es muy probable que se encuentre la solución de la ecuación. Este método se llama tanteo.

Se usará ahora un método diferente al tanteo para resolver ecuaciones. Se llama el método algebraico, porque pertenece a la rama de las Matemáticas llamada Álgebra.

El estudio de las operaciones entre los números: suma, resta, multiplicación y división, pertenece al área de las Matemáticas llamada Aritmética.

Se mostrará ahora cuál es el método algebraico para resolver ecuaciones como la anterior.

Se ha resuelto la ecuación, puesto que, si se sustituye la en la ecuación por 2, que es el valor encontrado, se obtiene:

Se representará gráficamente este proceso algebraico de la siguiente manera:

Si se tiene una balanza y de un lado está y del otro 13, como la ecuación dice que estas cantidades son iguales, la balanza estará en equilibrio.

La resolución algebraica de la ecuación se representará ahora en la balanza. Se tratará de mantener la balanza en equilibrio mientras se hacen operaciones en ambos lados, buscando terminar con sólo una del lado izquierdo de la balanza.

Se comienza retirando 3 unidades de cada lado de la balanza. (ver imagen a la izquierda)

Observemos que, en vista de que la balanza está en equilibrio cuando tenemos

de un lado y 10 unidades del otro, podemos concluir que cada

pesa lo mismo que dos unidades, y esto se observa al dividir las unidades del lado derecho en 5 partes:

Podemos entonces colocar sólo una del lado izquierdo y 2 unidades del lado derecho y se mantendrá la balanza en equilibrio:

Ecuaciones en

El tratado de al-Khowarizmi sobre resolución de ecuaciones fue traducido al latín varias veces por matemáticos europeos de la Edad Media, quienes aprendieron la lengua árabe especialmente con el fin de aprender acerca de los avances que los árabes habían logrado en Matemáticas.

En particular, esta obra de al-Khowarizmi influyó mucho en la ciencia europea de aquella época.

El término "algoritmo'' se deriva del nombre del matemático al-Khowarizmi, considerado uno de los más grandes matemáticos árabes de todos los tiempos.

La palabra "algoritmo'' se usa en Matemáticas para nombrar una serie de pasos ordenados que conducen a la solución de algún problema o ejercicio matemático.

La resolución de ecuaciones no es siempre posible si se admiten sólo soluciones que sean números naturales; por ejemplo, la ecuación:

no tiene solución entre los números naturales, pues cualquier número natural sumado a 4 dará un número mayor que 4, y en este caso la solución de la ecuación, sumada a 4, debe dar igual a 1.

Cuando se conocen bien los números negativos, puede encontrarse una solución para esa ecuación.

Para resolverla, puede usarse el método de tanteo ó un razonamiento sencillo, para concluir que la solución es:

También puede usarse el método algebraico:

La ecuación original x+4=1 se va transformando en ecuacionesequivalentes, realizando operaciones idénticas en ambos lados de la igualdad, hasta lograr despejar a la x.

Una vez que se conocen los números negativos, se tiene la posibilidad de resolver muchísimas ecuaciones que, viviendo sólo con los números naturales, no se podrían resolver.

Debe tenerse cuidado, por supuesto, con las operaciones que se realizan, respetando las "reglas del juego" que impone el trabajo con números enteros. Por ejemplo, en la ecuación:

se comienza por restar 24 a ambos miembros de la igualdad:

y, como 16-24 es igual a -8, se obtiene la siguiente ecuación equivalente a la original:

Ahora se suma 3x en ambos miembros y se obtiene:

El último paso será dividir ambos miembros entre 8, y así queda:

Recordando que la división de un número entre otro de distinto signo da como resultado un número negativo, se tiene:

Es decir, la solución es x = -1, lo cual significa que si se sustituye a la x por -1 en la ecuación original, se obtiene una igualdad verdadera.

Hay muchas maneras de resolver una misma ecuación. Por ejemplo, a continuación se resolverá una ecuación cuya incógnita está multiplicada por un número negativo.

Se dice que el número -3 es el coeficiente de la x.

En este caso, en primer lugar, restamos 1 (ó sumamos -1) a ambos miembros de la ecuación:

ahora, se dividen ambos miembros por el coeficiente de x, es decir, -3 en este caso:

como se sabe que (-3x)/(-3) = (-3/-3)x = 1· x = x, entonces se obtiene x = -3 como solución a la ecuación dada.

Pero también se puede resolver así: -3x = 9, y por lo tanto sumando 3x a ambos miembros, se obtiene 0 = 3x+9, es decir,-9 = 3x, y ahora, se dividen ambos miembros entre 3 y se obtiene -9/3=x, es decir, -3 = x.

Como se puede ver, las "reglas del juego" que mencionamos antes deben conocerse muy bien; principalmente en este caso, las siguientes:

El producto y la división de dos números enteros de signos iguales es un número positivo.

El producto y la división de dos números enteros de signos contrarios es un número negativo.

A continuación, se muestra un ejemplo de una ecuación en la cual deben hacerse operaciones de suma o resta con la incógnita:

como el objetivo final es despejar la incógnita, debe ubicarse la x en un solo lado de la ecuación. Para esto, basta con sumar en ambos miembros la x, para comenzar:

Hay que saber que

y por otro lado, que

puesto que, si se recuerda que la x representa un número desconocido, pero un número al fin, se puede aplicar la propiedad distributiva en este caso:

Aquí se ha aplicado esta propiedad en sentido inverso al que se ha usado hasta ahora.

Por eso es que -6x+x=-5x.

Con la práctica, ya el estudiante puede observar que, en general, si a y b son dos números enteros cualesquiera,

Volviendo al ejemplo que se está resolviendo, se tiene que la ecuación original:

es equivalente a

dividiendo ambos miembros entre -5, que es el coeficiente de la x, se obtiene:

se resolverán otros ejemplos de ecuaciones a continuación, aplicando las técnicas ya explicadas.

Se comienza por aplicar la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación:

y esto equivale a

ahora puede sumarse 7x a ambos miembros de la igualdad, aunque también podría optarse por restar 3x en ambos miembros:

en el lado derecho se obtiene:

Así, la ecuación dada es equivalente a:

o sea

Sumando en ambos miembros 14, se obtiene:

es decir,

ahora, dividiendo ambos miembros entre 10, resulta que la ecuación original es equivalente a

Otro ejemplo:

se aplica la distributividad del producto respecto a la suma en el miembro izquierdo:

aquíse observa que -2(3x)=(-2)(3)x, es decir, -2(3x)=-6x. Luego, la ecuación dada es equivalente a la siguiente:

como -6x+(-5x)=-11x, se obtiene:

Sumando 11x en ambos miembros:

es decir,

y esto equivale a

por lo tanto

Ecuaciones en Q

Los métodos para resolver ecuaciones han variado a lo largo de la Historia. Particularmente interesante era el método que usaban los egipcios para resolver ecuaciones como la siguiente:

Una cantidad, su mitad, sus dos tercios, todos juntos son 26. Díganme: ¿cuál es la cantidad?

Usando los símbolos que actualmente se aprenden en la escuela, el problema se escribiría así:

La manera de resolverla, según los egipcios, era la siguiente:

Le daban un valor cualquiera a la x, un falso valor, por ejemplo, 18. Realizaban las operaciones que indicaba la ecuación con este valor:

El valor falso (18) y el resultado obtenido (39) se usaban ahora para establecer una regla de tres

displaymath923

y se obtenía tex2html_wrap_inline987 .

Puede comprobarse que el método funciona, independientemente del valor falso que se escoja para comenzar. Este método fue llamado "la Regla de la Falsa Posición".

Hay una explicación (pero no sólo una) para el hecho de que la Regla de la Falsa Posición sea una vía para encontrar la solución de una ecuación como la anterior. En el tema de Proporcionesse encuentra una clave para una posible explicación. También necesitas estudiar bien este tema completo para poder encontrarla. Intenta dar una explicación cuando finalices el estudio de este tema y el de Proporciones.

Después de haber aprendido a resolver ecuaciones con números enteros, se hace claro al observar algunas ecuaciones, que existe la necesidad de incluir los números racionales también en el trabajo matemático. Veamos un ejemplo:

A Tomás se le asigna la tarea de vender 6 paqueticos de uvas. Él sabe que cada kilogramo de uvas se debe vender a Bs. 1.500, pero no sabe cuánto pesa cada paquete. Otro dato que tiene Tomás es el siguiente: los 6 paquetes más kilo de uvas pesan en total 2 kilos. ¿Qué hacer para ponerle el precio justo a cada paquete?

Primero que todo, se plantea la siguiente ecuación, la cual refleja la información que se tiene sobre el peso de 6 paquetes más kilo de uvas: si se llama x a los kilos que pesa cada paquete, se escribe:

(En esta ecuación, los números expresan kilos, no bolívares).

Procediendo de manera similar a la utilizada para resolverecuaciones en N y Z ,

Si se recuerda que , se obtiene

es decir,

Es decir, que cada paquete pesa exactamente de kilo, y por lo tanto, como cada kilo se debe vender a Bs. 1.500, cada paquete se debe vender a Bs. 375, pues .

Otros ejemplos de ecuaciones en las cuales aparecen números racionales, y sus soluciones, se muestran a continuación:

Como siempre, interesa despejar a la incógnita, es decir, tener una igualdad equivalente a la anterior, en la cual la "x'' esté sola de un lado de la igualdad. A diferencia del caso anterior, en el cual se tenía , la incógnita ahora está DENTRO de una fracción, es parte del numerador, y hay que proceder con cuidado.

En primer lugar, se multiplican ambos miembros por 2 para eliminar el 2 del denominador al lado izquierdo de la ecuación, y así se obtiene:

Y ahora se tiene una ecuación más sencilla, en la cual se despeja la x de la manera usual:

es conveniente comprobar que el valor obtenido para x es la solución de la ecuación planteada.

Para reflexionar:

¿Por qué sería incorrecto proceder de la siguiente manera?:

es muy importante identificar el error cometido en los pasos seguidos arriba, para no cometerlo nunca.

Lo que ocurre en realidad, es que muchos estudiantes, cuando comienzan a estudiar ecuaciones, creen que las siguientes expresiones son iguales:

Esto NO es cierto. Si se quiere escribir una expresión igual a , debe recordarse que

se trata de una resta de fracciones con denominador común (en este caso 2), que se puede escribir de esas dos formas. Así, podría resolverse la ecuación planteada de esta manera:

Esta es, entonces, otra manera de resolver la ecuación original, que también es correcta.

en primer lugar, se buscará sumar todos los términos de la ecuación que contienen a la incógnita, y para eso, se comienza por multiplicar ambos miembros de la ecuación por 3, para eliminar el denominador del lado izquierdo de la ecuación.

Esto equivale a

Pero tex2html_wrap_inline1041 , y por lo tanto la ecuación se transforma en

Sumando ahora 6x en ambos miembros de la ecuación, se obtiene

es decir,

por lo tanto

Dividiendo ambos miembros entre 10,

Simplificando, se obtiene

Para reflexionar: encuentra un error en la siguiente manera de resolver la ecuación anterior:

cuando se escribe que $\displaystyle \frac{4x+7}{3}+2x = 1$ es equivalente a $\displaystyle \frac{6x+7}{3}=1$ se comete un grave error porque

$\begin{displaymath} \frac{4x+7}{3}+2x = \frac{4x}{3}+\frac{7}{3}+2x = \left(\frac{4}{3}+2\right)x+7 = \frac{10}{3}x+7 \end{displaymath}$

Multiplicamos ambos miembros por 2:

en el lado derecho, se obtiene

pues

Entonces la ecuación original se transforma en:

Sumando 24x en ambos miembros se obtiene:

simplificando la fracción del lado izquierdo de la ecuación, se obtiene:

Multiplicando por 3 en ambos miembros, se obtiene

Aplicando la distributividad en ambos miembros, resulta:

Restando 2x en ambos miembros, se obtiene:

es decir,

pues 3x-2x=x. Así, la solución es

El Plano Cartesiano

René Descartes, gran filósofo y matemático francés, nació en 1596. Entre sus principales aportes a la filosofía está su famoso "Discurso del Método", obra en la cual busca exponer reglas para "descubrir verdades". Descartes afirmó que los orígenes de esta obra filosófica estaban en la lógica, la geometría y el álgebra. Por otra parte, este pensador ilustre hizo una importante contribución a las Matemáticas. Al "Discurso del Método" le añadió un "anexo" titulado "Geometría", en el cual propuso un sistema nuevo para estudiar esta disciplina. Gracias al "sistema de coordenadas cartesianas" creado por Descartes y denominado así en su honor, diversas áreas de las Matemáticas tuvieron un rápido desarrollo en los años posteriores. Este sistema permite asignarle a cada punto del plano una pareja de números reales que lo identifica inequívocamente. Así, cualquier figura geométrica puede ser identificada con un conjunto de parejas de números reales, como se verá más adelante y eso permite, entre otras cosas, estudiar la geometría a través del álgebra.

René Descartes

Además, Descartes introdujo parte de los símbolos que actualmente se usan en las ecuaciones algebraicas, facilitando enormemente el estudio de las ecuaciones y sus soluciones.

En su juventud, después de haber recibido una educación del más alto nivel, decidió viajar por el mundo para descubrirlo por sí mismo. Después de varios años de viajes, se estableció en Holanda, lejos de amigos y familiares, con la intención de concentrarse exclusivamente en la escritura de los libros que más tarde le darían fama. Murió en Suecia, en 1650.

Se ha convenido en usar una línea recta horizontal para representar a todos los números reales, colocando el cero en un punto de la recta, todos los reales positivos a la derecha de ese punto y todos los reales negativos, a la izquierda de ese punto:

A continuación se superpone, a esta recta, otra recta perpendicular a ella y que pase por el 0, de la manera siguiente:

Sobre la recta vertical, se ubican también los números reales, de manera que el cero de la vertical coincida con el de la horizontal, los números reales positivos queden por encima de la horizontal y los negativos queden por debajo.

Esta sencilla construcción permite identificar a cualquier par ordenado de números reales con un punto del plano, de la manera siguiente:

El par , por ejemplo, se identifica con el punto señalado en la figura de la derecha

Para encontrar el sitio exacto que le corresponde al punto , se procede así:

1)Se traza una recta vertical que pase por el punto 1 del eje horizontal.

2)Se traza una recta horizontal que pase por el punto 4 del eje vertical.

El punto de intersección de las dos rectas trazadas es el punto .

El par se denomina "par ordenado" porque el orden en el cual aparecen los números es esencial para identificar al par con el punto del plano. De hecho, si se considera el punto , el punto del plano que se le asocia es el punto :

En el par ordenado , que ahora identificamos con el punto , al número 1 se le llama la abscisa del punto y al número 4, la ordenada del punto . Por eso, al eje horizontal se le llama el eje de las abscisas y al vertical, el eje de las ordenadas.

Los números 1 y 4 son las coordenadas cartesianas del punto , y la construcción general que se acaba de describir a través del punto particular , se llama plano cartesiano.

El punto donde se intersectan los ejes de coordenadas es llamado el origen de coordenadas y se identifica con el par ordenado .

La utilidad del plano cartesiano puede ilustrarse, en una aplicación muy elemental, con el ejemplo siguiente. Dos personas acuerdan encontrarse a las 4:00 p.m. en una cierta esquina de una ciudad cuyo sistema vial está constituido por calles paralelas y avenidas perpendiculares a las calles, como en el dibujo:

La manera más sencilla, tal vez, de especificar la esquina del encuentro, sería decir: Ave. 5 con Calle 4.

Si las calles y avenidas no estuvieran numeradas, sino que se identificaran por nombres que las personas del encuentro no recordaran, aún sería posible identificar con precisión el punto de encuentro, si tomaran como punto de referencia la plaza Bolívar, por ejemplo:

Si la ciudad es inclinada, de manera que decir "hacia arriba" o "hacia abajo" resulta una indicación clara y si ambas personas se acercaran a la plaza Bolívar desde abajo, podrían decir: Una cuadra a la derecha de la plaza Bolívar y dos cuadras hacia arriba.

En este último caso, se está usando un sistema para identificar el punto de encuentro, que es equivalente al sistema de coordenadas cartesianas.

Se le podría asignar el punto a la plaza Bolívar y en ese caso, el punto de encuentro tendría coordenadas , lo que sería equivalente a decir: una cuadra a la derecha y dos cuadras hacia arriba.

Por supuesto, el punto de referencia ha podido ser otro, y en ese caso las indicaciones (y por lo tanto, las coordenadas) cambiarían. Lo importante aquí es observar que el sistema de coordenadas cartesianas es un sistema donde se escoge un punto al que se llama origen de coordenadas, y a partir de ese punto como referencia, se ubica cualquier otro punto del plano.

Si se quiere establecer la posición en el plano de los puntos siguientes:

Así, sin ninguna referencia, resulta bastante difícil. Si ahora, se escoge un sistema de coordenadas cartesianas y se colocan los tres puntos en él, se tiene lo siguiente:

Ahora es posible identificar la ubicación exacta de cada punto: es el punto , es y es .

Es bueno observar que, para encontrar las coordenadas de , y , se trazan rectas paralelas a los ejes de coordenadas que pasen por , y respectivamente. Por ejemplo, para saber que las coordenadas de son , trazamos una vertical que pase por , y el punto del eje de las abscisas donde la vertical corta es el que corresponde al número 4. Por otro lado, el punto donde la horizontal, trazada por , corta al eje de las ordenadas, es el que corresponde al 3.

Ahora, si el origen de coordenadas se coloca en otro sitio, a la derecha de los tres puntos, por ejemplo, se tendría la siguiente situación:

Las coordenadas de , y son otras:

es el punto
es el punto
es el punto

Esto es lógico que ocurra, porque cambiamos el punto de referencia; la ubicación del origen de coordenadas cambió en relación a la ubicación de los puntos , y .

Sin embargo, si se quieren estudiar relaciones numéricas entre los puntos , y , como la distancia entre ellos, por ejemplo, no importa cuál sistema de coordenadas se escoja, el resultado será siempre igual.

Rectas en el plano cartesiano

La idea de crear un sistema para representar figuras geométricas como rectas, triángulos, círculos, etc. y poder describirlos a través de números fue, sin duda, una de las más grandes ideas matemáticas del siglo XVII. Como algunas otras grandes ideas, fue motivo de discusiones, tensiones y enemistades entre matemáticos famosos. En este caso, entre Fermat y Descartes surgieron discrepancias en torno a la genial creación de ambos, pues, como trabajaron independientemente, había algunas diferencias entre ambos sistemas y cada uno de ellos se empeñó en demostrar que su sistema era el mejor de los dos.

Finalmente, el sistema de Descartes fue adoptado por los demás matemáticos de la época, por permitir mayor facilidad en los cálculos aritméticos y algebraicos que el propuesto por Fermat.

Las rectas son las figuras geométricas más simples, después de los puntos, y con su estudio en el plano cartesiano, se descubre la gran utilidad que tiene éste en la determinación de las propiedades de las figuras geométricas.

Se puede tomar, por ejemplo, el caso de una recta como la que se muestra a la derecha.

Será mucho más fácil hablar con precisión numérica acerca de algunas de sus propiedades, si se ubica la recta en un plano cartesiano, como se hace en la figura de la izquierda.

Una de las propiedades más importantes de una recta es su inclinación, la cual se define en términos matemáticos como la pendiente.

Comparando la recta con otra, que en este caso puede ser la recta :

Se podría decir que la recta es más "inclinada" que la recta . En términos matemáticos, se dice que tiene pendiente mayor que .

Para encontrar una manera de precisar numéricamente las pendientes de estas rectas, hay que observar algo esencial:

Los puntos y en la recta y los puntos y en , están ubicados de manera que la abscisa de y es 1 y la de y es 2. Pero mientras que las ordenadas de y son 1 y 2, las de y son y respectivamente.

Se podría decir que la recta está "creciendo" más rápido que la , porque al pasar de la abscisa 1 a la 2, en hay un crecimiento de 1 unidad en la ordenada, mientras que en hay un crecimiento de a y

$\begin{displaymath} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}. \end{displaymath}$

Para ser más precisos, se observa que la proporción entre cambio de la ordenada y cambio de la abscisa, es decir, entre diferencia de la ordenada y diferencia de la abscisa es mayor para

que para

$\begin{displaymath} \begin{array}{ll} T:\; (1,1) & P:\; (1,1/4) \\ [.3cm] R:\;... ...laystyle\frac{1/4}{1} = \displaystyle\frac{1}{4} \end{array} \end{displaymath}$

La pendiente de una recta es justamente esa proporción:

$\begin{displaymath}\displaystyle\frac{\mbox{Diferencia de la ordenadas}}{\mbox{Diferencia de las abscisas}}\end{displaymath}$

tomándose esta diferencia entre dos puntos cualesquiera de la recta.

En el ejemplo anterior, se tiene:

Pendiente de $l\; : \;\; 1$

Pendiente de $s\; : \;\; 1/4$

Si se vuelve a considerar la recta utilizada antes, y se calcula su pendiente usando otros dos puntos de ella, por ejemplo, y :

Como $\;J: (-1,-1)\;$ y $\;K: (4,4)\;$ la pendiente será igual a :

$\begin{displaymath} \frac{4-(-1)}{4-(-1)} = \frac{5}{5} = 1. \end{displaymath}$

Tal como era de esperarse, el resultado de este cociente se mantuvo igual que cuando se calcularon las diferencias de ordenadas y abscisas de y . La razón es muy simple: la proporción entre el cambio de la ordenada y el cambio de la abscisa tiene que mantenerse constante a lo largo de toda la recta, puesto que, por el hecho mismo de tratarse de una recta, su inclinación se mantiene constante.

Incluso hubiera dado igual si se calculan las diferencias así:

$\begin{displaymath} \frac{-1-4}{-1-4} = \frac{-5}{-5} = 1 \end{displaymath}$

Lo que hay que tomar en cuenta es que si y , para calcular la pendiente se debe calcular

$\begin{displaymath} \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \end{displaymath}$

es decir, hay que calcular las diferencias en el mismo orden en el numerador que en el denominador, pero nunca hacer esto: $\displaystyle\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1}$ .

La Función Lineal

El gran matemático suizo Leonhard Euler vivió en el siglo XVII, y su obra es la más voluminosa que haya sido escrita hasta ahora por matemático alguno. Aparte de haber escrito sobre muchas áreas de la Matemática conocidas en su época, como la Geometría, la Aritmética, el Álgebra y el Cálculo, creó los fundamentos de nuevas ramas del conocimiento matemático como lo son la Teoría de Grafos y la Topología Combinatoria. Además abordó problemas de Mecánica, Óptica, Electricidad y Acústica con las poderosas herramientas matemáticas que poseía, explicando así fenómenos naturales como el movimiento de la Luna, el flujo del calor y la estructura matemática subyacente a la Música.

Leonhard Euler

Un ejemplo entre los muchos que ilustran la genialidad de Euler es el siguiente: Fermat había hecho la conjetura, 100 años antes, de que todos los números de la forma $2^{2^n}+1$ eran primos, lo cual es cierto para

. Euler encontró, sin usar calculadora, que

$\begin{displaymath} 2^{2^5}+1=2^{32}+1 = 4.294.967.297 = (641)\cdot (6.700.417) \end{displaymath}$

Es decir, $2^{2^5}+1$ no es primo, y por lo tanto la conjetura de Fermat es falsa.

El concepto de función fue creado por Euler y ha sido utilizado desde entonces en prácticamente todas las ramas de la Matemática.

El concepto matemático de función permite, entre otras cosas, organizar información que se obtiene a través de datos numéricos tomados de algún fenómeno, y estudiar la manera en que esos datos se relacionan entre ellos. Por ejemplo, se tienen los siguientes datos acerca de los kilómetros recorridos por un ciclista en entrenamiento, en intervalos de tiempo de 15 minutos:

0	minutos	${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$	0 Kms
15	minutos	${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$	6 Kms
30	minutos	${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$	12 Kms
45	minutos	${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$	18 Kms
1	hora	${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$	24 Kms

Un observador cuidadoso notará que, en cada intervalo de 15 minutos, el número de kilómetros avanzados es siempre el mismo: 6 Kms. Si se representan estos datos en el plano cartesiano, ubicando el tiempo en horas en el eje de las abscisas y la distancia recorrida en el eje de las ordenadas, se obtiene algo así:

Tomando en cuenta que 15 minutos = $\frac{1}{4}$ de hora, 30 minutos = $\frac{1}{2}$ hora, etc, los puntos representados son: P: (1/4,6), Q: (1/2,12), R: (3/4,18), S: (1,24)

Estos datos permiten concluir que el ciclista va a una velocidad constante, y que una línea recta representa su recorrido en kilómetros a través del tiempo:

Tiempo	Distancia
0	0
1/4	6
1/2	12
	etc.

Si se sabe que el ciclista mantiene su velocidad constante por un lapso de 2 horas, se puede determinar el número de kilómetros recorridos al cabo de las 2 horas.

Para reflexionar:

¿Puedes decir cuál es ese número? ¿Qué operación has realizado para determinarlo, y por qué?

Este ejemplo muestra un caso típico en el que se puede utilizar el concepto de función: hay una serie de datos (los kilómetros recorridos) que vienen asociados a otra serie de datos numéricos (el tiempo transcurrido). se pueden representar los datos en una tabla como la que se muestra a la izquierda.

Si se determina que la velocidad del ciclista es de 24 Kms por hora, entonces es fácil deducir que, al cabo de 2 horas, habrá recorrido 48 Kms, sencillamente porque $48=24\cdot 2$ . Así, la tabla "Tiempo-Distancia" se puede escribir así:

Tiempo	Distancia
0	$0=0\cdot 24$
1/4	$6=(1/4)\cdot 24$
1/2	$12=(1/2)\cdot 24$
3/4	$18=(3/4)\cdot 24$
1	$24=1\cdot 24$

es decir, la distancia recorrida en un tiempo (dado en horas) es igual a $(24)\cdot (x)$ . Por ejemplo, en 2 horas y media, la distancia en kilómetros será

$\begin{displaymath} (24)(2,5) = 60\: Kms \end{displaymath}$

El tiempo y la distancia se denominan variables. El tiempo es, en este caso la variable independiente y la distancia recorrida es la variable dependiente, porque depende del tiempo: para cada instante dado, hay una distancia recorrida.

Una función es una manera de asociar cada elemento de un conjunto de variables con un elemento de otro conjunto de variables (como en este caso) y se escribe para representar el número que se le asocia a la variable independiente .

por ejemplo, en el caso anterior, se tiene:

$\begin{eqnarray*} f(0) & = & 0 \\ [.3cm] f(1/4) & = & 6 \\ [.3cm] f(1/2) & = & ... ...f(3/4) & = & 18 \\ [.3cm] f(1) & = & 24\;\;, \quad \mbox{etc.} \end{eqnarray*}$

Y en general, $f(x)=24\cdot x$

Se definirán ahora los términos imagen y preimagen de una función: Se dice que la imagen de , mediante , es . por ejemplo: la imagen de 0 es 0, la imagen de 1/4 es 6, la imagen de 3/4 es 18 y así sucesivamente.

Preimagen o imagen inversa:

La preimagen de 12, mediante  es 1/2 porque
La preimagen de 24, mediante  es 1 porque
La preimagen de  es  .

Sistemas de ecuaciones lineales

Carl Friedrich Gauss nació en 1777 y aportó grandes descubrimientos a la Ciencia de su época, especialmente a la Matemática, pero también a la Física y a la Astronomía.

Cuando tenía 10 años de edad, su maestro de escuela ordenó a los niños que sumaran todos los números del 1 al 100, probablemente para mantenerlos ocupados por un largo rato. Gauss, casi inmediatamente, encontró el resultado: 5.050. Se dice que, para calcular la suma hizo lo siguiente: colocó la suma de los números del 1 al 100 de dos maneras:

Carl Friedrich Gauss

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccccccccccccccccc} 1&+&2&+&3&+&4&+&\cdots\cd... ...0&+&99&+&98&+&97&+&\cdots\cdots &+&4&+&3&+&2&+&1 \end{array} \end{displaymath}$

Se dió cuenta de que la suma de cada pareja de números en la misma posición vertical es igual a 101:

$\begin{displaymath} 101=1+100=2+99=3+98=\cdots \end{displaymath}$

Luego, observó que la suma de todas esas parejas de números es el doble de la suma que estaba buscando, es decir

$\begin{displaymath} 1+2+\cdots +97+98+99+100 = \frac{(100)(101)}{2} \end{displaymath}$

puesto que son 100 veces 101 lo que se obtiene al sumar las dos filas de la manera indicada. Pero $\displaystyle \frac{(100)(101)}{2}$ es un número fácil de calcular:

$\begin{displaymath} \frac{10100}{2} = 5.050. \end{displaymath}$

A los 19 años, Gauss comenzó a escribir un diario personal que contiene 146 anotaciones sobre resultados matemáticos importantes; ese diario hoy es considerado uno de los documentos más preciosos de la Historia de las Matemáticas. Gauss fue un excelente algebrista.

Cuando se consideran dos rectas distintas en el plano cartesiano, se advierte que hay dos posibilidades:

1) Las dos rectas son paralelas.

2) Las dos rectas tienen un punto común

Cuando las rectas son paralelas, sus respectivas ecuaciones lo delatan, pues ambas rectas tienen la misma pendiente. Por ejemplo, se tienen las ecuaciones siguientes:

$\begin{eqnarray*} y & = & 2x - 1 \\ y & = & 2x + 6 \end{eqnarray*}$

Ambas rectas tienen pendiente igual a 2 y por lo tanto, son paralelas, y no tienen ningún punto en común.

Algunas veces, la ecuación de una recta puede darse de una manera distinta a la anterior, en la que está despejada la variable . Por ejemplo:

$\begin{displaymath} 2x+3y-5 = 0 \end{displaymath}$

Si se quiere conocer la pendiente de la recta que tiene esa ecuación, debe despejarse la variable

$\begin{eqnarray*} 3y & = & 5 - 2x \\ y & = & \displaystyle \frac{5-2x}{3} \\ y & = & \displaystyle \frac{5}{3}-\displaystyle \frac{2}{3}x \end{eqnarray*}$

Como el coeficiente de la variable

, se concluye que la pendiente de esa recta es igual a

De manera que, dadas las ecuaciones de dos o más rectas, es conveniente expresar esas ecuaciones con la despejada, para determinar si son ó no paralelas.

Ahora bien, en el caso de tener dos rectas no paralelas, ¿cómo se determinan las coordenadas del punto que tienen en común?

Por ejemplo, si se tienen las rectas cuyas ecuaciones son , y , el punto que pertenece a ambas rectas debe ser tal que sus coordenadas satisfacen ambas ecuaciones.

Si tiene coordenadas , lo que se acaba de decir es que y a la vez .

Escribiendo estas ecuaciones de otra manera, se obtiene lo siguiente: (despejando a )

$\begin{eqnarray*} b & = & \displaystyle \frac{1-a}{2} \\ b & = & a+2 \end{eqnarray*}$

Si $b=\displaystyle \frac{1-a}{2}$ y

, necesariamente se tendrá que $\displaystyle \frac{1-a}{2}=a+2$ , y por lo tanto,

$\begin{eqnarray*} 1-a & = & 2(a+2) \\ 1-a & = & 2a+4 \\ 1 & = & 2a+a+4 \\ 1 & =... ...-3 & = & 3a \\ \displaystyle \frac{-3}{3} & = & a \\ -1 & = & a \end{eqnarray*}$

Es decir, para que $\displaystyle \frac{1-a}{2}$ sea igual a , es necesario que sea igual a , y en ese caso, se tendría:

$\begin{eqnarray*} b & = & a+2 \\ b & = & (-1)+2 \\ b & = & 1 \end{eqnarray*}$

Como

es el punto común de las rectas dadas, resulta que ese punto es

Representando gráficamente ambas rectas, se obtiene lo siguiente:

Se observa que el punto que es común a ambas rectas, tiene coordenadas , tal como se dedujo algebraicamente.

El método algebraico es llamado "el método de sustitución", porque consiste en:

Despejar una de las variables en las dos ecuaciones:: De las ecuaciones $\left\{\begin{array}{l} 2b=1-a \\ a+2-b=0 \end{array}\right.$ se pasó a las ecuaciones equivalentes $\left\{\begin{array}{l} b=\displaystyle \frac{1-a}{2} \\ b=a+2 \end{array}\right.$

Sustituir a la variable por $\displaystyle \frac{1-a}{2}$ en la segunda ecuación, y así resulta: $\begin{displaymath} \frac{1-a}{2} = a+2 \end{displaymath}$

Se resuelve la ecuación anterior para encontrar el valor de que la satisface (en este caso ) y luego se sustituye ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales (en este caso se sustituyó en ), para obtener: $\begin{displaymath} b=-1+2=1 \end{displaymath}$ Si se hubiera sustituido por en la otra ecuación: $b=\displaystyle \frac{1-a}{2}$ , se hubiera obtenido: $\begin{displaymath} b=\frac{1-(-1)}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{displaymath}$

El mismo resultado para se obtiene sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones.

Las ecuaciones $\left\{\begin{array}{l} b=a+2 \\ b=\displaystyle \frac{1-a}{2}\end{array}\right.$ constituyen lo que se llama un sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas. Las incógnitas son y , las cuales representan, geométricamente, las coordenadas del punto donde se intersectan las rectas representadas por las dos ecuaciones lineales dadas.

Un segundo método algebraico muy utilizado para resolver sistemas de 2 ecuaciones con dos incógnitas es el llamado"método de suma y resta".

Representando gráficamente estas dos rectas, se obtiene:

En la resolución de ciertos problemas prácticos, puede surgir la necesidad de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Por ejemplo:
Dos personas viajan, una desde Mérida hasta una finca que queda a 90 Kms. de distancia. La otra, desde esa misma finca hasta Mérida, y salen a la misma hora. Ambos viajan en automóvil a 60 Kms. por hora, y se quiere saber exactamente en qué momento se encontrarán, es decir, cuánto tiempo habrá transcurrido en el instante en que se encuentran en el camino.

Si se usa el plano cartesiano para representar las trayectorias de los dos viajeros, colocando en el eje de las abscisas el tiempo transcurrido desde el inicio del viaje, y en el de las ordenadas la distancia que separa al viajero de la ciudad de Mérida, se obtiene lo siguiente:

El punto de encuentro entre los dos viajeros será aquel en el cual ambos viajeros estén a igual distancia de Mérida. Gráficamente, se obtiene ese punto como la intersección de los dos segmentos de recta, ubicados en un mismo sistema de coordenadas cartesianas:

Para encontrar las coordenadas del punto , hay que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenido al escribir las ecuaciones de las dos rectas cuyos segmentos representan las trayectorias de los dos viajeros.

Para encontrar esas dos ecuaciones, hay que determinar la pendiente de esas rectas.

Viajero 1:

Dos puntos del segmento	y
Pendiente
Ecuación

Viajero 2:

Dos puntos del segmento	y
Pendiente
Ecuación

Sistema de ecuaciones a resolver: $\left\{\begin{array}{ccl} y & = & 60x \\ y & = & -60x+90\end{array}\right.$

Usando el método de suma y resta, sencillamente se suman ambas ecuaciones y se obtiene , porque . Por lo tanto $\begin{displaymath} y=45 \end{displaymath}$

Sustituyendo

en la primera ecuación, se obtiene

, y por lo tanto $\displaystyle \frac{45}{60}=x$ , luego,

$\begin{displaymath} \frac{3}{4}=x \end{displaymath}$

Es decir, el punto

de la gráfica anterior, tiene coordenadas

. Esto significa que los dos viajeros se encontraron cuando habían transcurrido

de hora de su viaje, y estaban, en ese momento, a 45 Kms. de distancia de Mérida.

Ecuaciones Cuadráticas

Las ecuaciones lineales y cuadráticas fueron estudiadas por los babilonios, como lo revelan algunas tablas de arcilla que datan del año 2.100 a.C.

Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es una ecuación en la cual la incógnita está elevada al cuadrado, y no está elevada a exponentes mayores que 2. El siguiente problema aparece en una tabla de arcilla de Babilonia, y para su solución se recurre a una ecuación cuadrática:

"Una viga de 30 unidades de largo se apoya verticalmente contra un muro. Si la extremidad superior de la viga se coloca 6 unidades más abajo, ¿en cuántas unidades se desplazará el otro extremo de la viga?''

Para la solución de este problema, los babilonios usaban elTeorema de Pitágoras, pues ellos conocían el Teorema, aunque muy probablemente no conocían ninguna demostración del mismo.

El triángulo que se obtiene en la figura de arriba es rectángulo, y se conocen las medidas de dos de sus lados: la hipotenusa (mide 30 unidades, pues representa la viga) y el cateto vertical, que mide 24 unidades. El cateto horizontal, que representa el segmento recorrido por la extremidad inferior de la viga, es la incógnita.

Gracias al Teorema de Pitágoras, se puede asegurar que

$\begin{displaymath} x^2+24^2=30^2 \end{displaymath}$

Estamos en presencia de una ecuación cuadrática, o ecuación de segundo grado.

Se denomina "cuadrática" por estar la incógnita elevada al cuadrado.

La otra denominación que tienen estas ecuaciones: "de segundo grado" se debe a que, en general, se llama "grado de una ecuación" al mayor exponente al cual esté elevada la incógnita en esa ecuación.

Volviendo a la ecuación de segundo grado que surgió a raíz del problema babilonio, se tiene:

$\begin{displaymath} x^2+24^2=30^2 \end{displaymath}$

Resolviendo, se obtiene :

$\begin{eqnarray*} x^2 & = & 30^2-24^2 \\ x^2 & = & 900-576 \\ x^2 & = & 324 \end{eqnarray*}$

La solución de la ecuación es, entonces, aquel número que, elevado al cuadrado, sea igual a 324.

Como se sabe que todo número negativo elevado al cuadrado es un número positivo, hay dos soluciones para la ecuación:

$\begin{eqnarray*} x_1 & = & 18 \\ x_2 & = & -18 \end{eqnarray*}$

En efecto,

$\begin{displaymath} 18^2 = 324 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} (-18)^2 = 324 \end{displaymath}$

Pero los babilonios no conocían los números negativos, y, además, siendo la incógnita

una representación del tamaño de un segmento,

no puede ser un número negativo.

Así, la solución al problema es , pues $\sqrt{324}=18$ . en otras palabras, la extremidad inferior de la viga se desplazó 18 unidades cuando su extremidad superior descendió 6 unidades.

Muchos otros problemas geométricos, cuya solución requería de una ecuación de segundo grado, fueron resueltos por los babilonios muy hábilmente.

El ejemplo del problema babilonio, que conducía a la ecuación , presenta una ecuación cuadrática de las más sencillas de resolver, pues solo contiene la incógnita al cuadrado y números que se agrupan para dar paso a una ecuación del tipo

$\begin{displaymath} x^2=a \end{displaymath}$

(en este caso se obtuvo

) y la solución final se encuentra al determinar $\sqrt{a}$ , siempre que

sea un número positivo, puesto que si

es negativo, no existe ningún número real que, elevado al cuadrado, dé un número negativo.

De nuevo, si se determina $\sqrt{a}$ , entonces se tiene que la ecuación tiene dos soluciones:

$\begin{eqnarray*} x_1 & = & \sqrt{a} \\ x_2 & = & -\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

porque

$\begin{displaymath} x_1^2 = \Big(\sqrt{a}\Big)^2 = a \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} x_2^2 = \Big(-\sqrt{a}\Big)^2 = \Big(-\sqrt{a}\Big)\Big(-\sqrt{a}\Big) = +\left(\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}\right) = a. \end{displaymath}$

Hay ecuaciones cuadráticas menos sencillas que la anterior, y son las del tipo

$\begin{displaymath} ax^2+bx+c=0 \end{displaymath}$

donde

son números reales y $a\neq 0,\: b\neq 0$ .

Las ecuaciones A, B y C son ecuaciones cuadráticas.

En la ecuación B, se tiene que los términos están escritos como en la ecuación general:

$\begin{displaymath} ax^2+bx+c=0 \end{displaymath}$

donde $a=3,\: b=-6\:$ y $\:c=10$ .

La ecuación A se puede reordenar de manera que tenga la misma forma que la ecuación B:

$\begin{displaymath} 5x^2-2x-1 = 0 \end{displaymath}$

Igualmente, se reordena C:

$\begin{displaymath} x^2+3x-4 = 0 \end{displaymath}$

Incluso, puede presentarse una ecuación cuadrática de la manera siguiente:

$\begin{displaymath} (x-2)^2 = 9 \end{displaymath}$

El lado izquierdo de la ecuación es sencillamente

$\begin{displaymath} (x-2)^2 = (x-2)(x-2) \end{displaymath}$

Aplicando la propiedad distributiva, se obtiene

$\begin{displaymath} (x-2)(x-2) = x^2-2x-2x+4 = x^2-4x+4 \end{displaymath}$

Así, resulta que

$\begin{displaymath} (x-2)^2 = x^2-4x+4 \end{displaymath}$

Luego, la ecuación

$\begin{displaymath} (x-2)^2 = 9 \end{displaymath}$

es equivalente a la siguiente:

$\begin{displaymath} x^2-4x-5 = 0 \end{displaymath}$

Cuando la ecuación es dada de la forma

se facilita, en muchos casos, la solución, pues basta con encontrar un número que, al restarle 2, sea igual a $\sqrt{9}$ . Como $\sqrt{9}=\pm 3$ , entonces resultan las dos ecuaciones lineales

se obtiene ahora:

Estas son las dos soluciones de la ecuación cuadrática

Esto se comprueba fácilmente, sustituyendo cada uno de estos valores en cualquiera de las dos expresiones equivalentes de la ecuación.

Por ejemplo, al sustituir en , se obtiene:

$\begin{displaymath} 5^2-4(5)-5 = 25-20-5 = 0 \end{displaymath}$

Al sustituir

$\begin{displaymath} (-1)^2-4(-1)-5 = 1+4-5 = 0 \end{displaymath}$

Si se presenta ahora la ecuación

$\begin{displaymath} (x+3)^2 = 64 \end{displaymath}$

de nuevo se observa que el lado izquierdo representa el producto

y aplicando la ley distributiva de la multiplicación respecto a la suma, se obtiene:

$\begin{displaymath} (x+3)(x+3) = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9 \end{displaymath}$

Así, la ecuación

es equivalente a

$\begin{displaymath} x^2+6x+9=64 \qquad\mbox{\'{o}}\qquad x^2+6x-55=0 \end{displaymath}$

Es bueno resaltar aquí el hecho siguiente: los productos de la forma

$\begin{displaymath} (x+a)(x+a) = (x+a)^2 \end{displaymath}$

y	$\begin{displaymath} (x-b)(x-b) = (x-b)^2 \end{displaymath}$

son llamados productos notables y, como se vio en los ejemplos anteriores, se pueden expresar de la siguiente manera:

$\begin{eqnarray*} (x+a)^2 & = & x^2+2(a)(x)+a^2 \\ (x-b)^2 & = & x^2-2(b)(x)+b^2 \end{eqnarray*}$

La razón por la cual estas igualdades son ciertas es que, aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, se obtiene lo siguiente:

$\begin{eqnarray*} (x+a)^2 & = & (x+a)(x+a) = x^2+ax+ax+a^2 = x^2+2(ax)+a^2 \\ (x-b)^2 & = & (x-b)(x-b) = x^2-bx-bx+b^2 = x^2-2(bx)+b^2 \end{eqnarray*}$

De manera que la expresión

es igual a

$\begin{displaymath} x^2+2(7)(x)+7^2 = x^2+14x+49 \end{displaymath}$

Nunca debe cometerse el error de escribir

$\begin{displaymath} (x+7)^2 = x^2+7^2 \end{displaymath}$

La geometría ayuda a convencer a los incrédulos de que

$\begin{displaymath} (x+7)^2 \neq x^2+7^2, \end{displaymath}$

cualquiera que sea el número positivo representado por

Si se tienen los cuadrados siguientes, cuyos lados son 7 y , respectivamente:

Resulta que el área total que encierra esa figura es igual a

$\begin{displaymath} x^2+7^2 \end{displaymath}$

pues el área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado.

Ahora bien, se construye sobre la figura anterior un cuadrado de lado (ver figura de la izquierda)

El área del cuadrado recién construido es igual a , pero también se puede expresar como la suma de las áreas 1,2,3 y 4 señaladas.

Área 1 =		Área 3 = $7\cdot x$
Área 2 =		Área 4 = $7\cdot x$

por lo tanto,

$\begin{displaymath} (x+7)^2 = 7^2+x^2+7x+7x = x^2+2(7x)+7^2 = x^2+14x+49 \end{displaymath}$

La Geometría fue, durante muchos siglos, una magnífica compañera del Álgebra. El famoso matemático griego Euclides desarrolló en el siglo IV a.C. unos interesantes métodos para resolver ecuaciones algebraicas con ayuda de la Geometría. A esta disciplina se le llamó "Álgebra Geométrica".

A continuación se mostrará uno de los ingeniosos métodos del Álgebra Geométrica usados para resolver ecuaciones de segundo grado.

Se tiene la ecuación cuadrática

$\begin{displaymath} x^2+8x = 48 \end{displaymath}$

En el tiempo de Euclides, esta ecuación se planteaba con palabras, no con los símbolos que ahora se usan. El planteamiento de la ecuación era algo así: "Si el área de un cuadrado más 8 veces el lado es igual a 48, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?"

como la incógnita es el lado del cuadrado, y se le asigna a la incógnita el símbolo , resulta que el área del cuadrado en cuestión es igual a .

Geométricamente, la ecuación se puede interpretar así:

La suma de las áreas del cuadrado y el rectángulo es igual a 48 unidades, según la ecuación.

Pero si ahora se divide el rectángulo en 4 partes iguales:

Cada pedazo del rectángulo dividido puede anexarse al cuadrado de lado

(ver imagen de la izquierda)

El área de esta figura es igual a 48 unidades.

Para encontrar el valor de , se hace lo siguiente:

se completa la figura para obtener un cuadrado.

Cada trozo agregado en las esquinas de la figura anterior es un cuadrado de lado 2.

Así, a la suma de áreas que se tenía, se han agregado las áreas de 4 cuadrados de lado 2:

$\begin{displaymath} x^2+8x+4(2^2) \end{displaymath}$

como en toda ecuación, debe sumarse al otro lado de la igualdad esa misma cantidad para obtener una ecuación equivalente:

$\begin{displaymath} x^2+8x+4(2^2)=48+4(2^2) \end{displaymath}$

es decir,

esto significa que el área del cuadrado nuevo es igual a

$\begin{displaymath} x^2+8x+16 \end{displaymath}$

y también igual a 64 unidades.

Pero el área del cuadrado grande es igual al lado elevado al cuadrado, y el lado de ese cuadrado es igual a . por lo tanto, su área es igual a

$\begin{displaymath} (x+4)^2 \end{displaymath}$

en otras palabras,

$\begin{displaymath} (x+4)^2 = 64 \end{displaymath}$

como

y también

, se tiene que hay dos posibles soluciones:

1
2

De nuevo,

representa la medida de un segmento y por eso no puede ser negativa, así es que se toma, en este caso, sólo la solución 1 (tal y como lo hacían los griegos).

Entonces , por lo tanto es la solución positiva de la ecuación.

Para encontrar la otra solución de la ecuación, se toma la ecuación 2:

$\begin{eqnarray*} x+4 & = & -8 \\ x & = & -12 \end{eqnarray*}$

De manera que

son las soluciones de la ecuación original.

Ejercicio:

Sustituye los valores y en la ecuación original para que verifiques que ambos son soluciones de la misma.

Este método para resolver ecuaciones cuadráticas se llama el método de la completación de cuadrados, porque se completa un cuadrado geométricamente, y también se realizan operaciones algebraicas en la ecuación, que la transforman en una ecuación del tipo

$\begin{displaymath} (x+m)^2 = n \end{displaymath}$

Partiendo de una ecuación del tipo

$\begin{displaymath} x^2+bx+c=0 \end{displaymath}$

en el ejemplo anterior, la ecuación

$\begin{displaymath} x^2+8x=48\qquad\mbox{\'{o}}\qquad x^2+8x-48=0 \end{displaymath}$

se escribió como sigue:

$\begin{displaymath} (x+4)^2 = 64 \end{displaymath}$

Se dice que "se completó un cuadrado" porque se logró obtener la expresión , que es el cuadrado de un número, sumando en ambos miembros de la ecuación una cantidad apropiada, en este caso, 16.

Si se desea, se puede completar un cuadrado algebraicamente, sin hacer la construcción geométrica que le corresponde, como en el ejemplo siguiente:

$\begin{displaymath} x^2+6x-16=0 \end{displaymath}$

Se observa que, para obtener una expresión de la forma

a partir de la expresión

, necesariamente

debe ser igual a 3, puesto que $6=2\cdot 3$ , y así,

$\begin{displaymath} (x+3)^2 = x^2 + 2(3)(x) + 9 = x^2+6x+9 \end{displaymath}$

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación original:

$\begin{eqnarray*} x^2+6x+9-16 & = & 9+0 \\ x^2+6x+9 & = & 16+9 \\ (x+3)^2 & = & 25 \end{eqnarray*}$

La expresión

se ha completado para formar un cuadrado, en este caso,

y así la ecuación se resuelve con facilidad, pues se obtiene:

1
2

(pues $\;5^2=25\;$ y $\;(-5)^2=25$ ).

La ecuación 1 da y la ecuación 2 da .

La construcción geométrica correspondiente, es la siguiente:

El rectángulo que se observa a la derecha se dividió en 4 partes iguales:

Estos rectángulos de lados y fueron anexados al cuadrado de lado .

Se completa el cuadrado, agregando 4 cuadrados de lado igual a en cada esquina:

$\begin{eqnarray*} x^2+6x+4\left(3/2\right)^2 & = & 16+5\left(3/2\right)^2 \\ x^2+6x+9 & = & 16 + 9 \\ (x+3)^2 & = & 25. \end{eqnarray*}$

Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas se pueden hallar a través de muchos métodos distintos. El anterior es sólo uno de tantos, y es apropiado para resolver con gran facilidad ecuaciones del tipo , es decir, .

Pero existe una fórmula, llamada la fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado, que es aplicable a todas las ecuaciones cuadráticas

$\begin{displaymath} ax^2+bx+c=0\;,\quad \mbox{con}\; a\neq 0. \end{displaymath}$

Esta fórmula es muy útil, sobre todo cuando otros métodos resultan complicados. Es la siguiente:

$\begin{displaymath} x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{displaymath}$

En algunos textos aparecen las dos fórmulas anteriores en una sola:

$\begin{displaymath} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{displaymath}$

hay varios datos acerca de las soluciones de una ecuación cuadrática que se pueden deducir de esta fórmula.

1) Es posible que no existan soluciones en el conjunto de los números reales. Esto sucede cuando es negativo. En ese caso $\sqrt{b^2-4ac}$ no es un número real, porque ya se sabe que todo número real elevado al cuadrado, es positivo.(Radicación) Por ejemplo, en la ecuación , se tiene: $\begin{displaymath} a=3,\quad b=2,\quad c=8 \end{displaymath}$ La fórmula en este caso da lo siguiente: $\begin{eqnarray*} x & = & \frac{-2\pm\sqrt{4-4(3)(8)}}{2(3)} \\ [.5cm] x & =... ...m\sqrt{4-96}}{6} \\ [.5cm] x & = & \frac{-2\pm\sqrt{-92}}{6} \end{eqnarray*}$ como $\sqrt{-92}$ no es un número real, la ecuación no tiene soluciones reales.

2) Es posible que exista una única solución. Esto ocurre cuando en ese caso,

$\begin{displaymath} x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} \end{displaymath}$

Por ejemplo:

aplicando la fórmula, se obtiene:

$\begin{displaymath} x=\frac{-8\pm\sqrt{64-4(16)}}{2} \end{displaymath}$

pero , y así sólo queda

$\begin{displaymath} x=\frac{-8}{2}=-4. \end{displaymath}$

Las soluciones y de la ecuación cuadrática se llaman también raíces de la ecuación.

Cuando y existen y son diferentes, como en el caso en que , se dice que y son raíces simples.

Cuando , se dice que es una raíz doble. Es el caso en que .
Ya se vio que, en el caso en que no hay raíces reales. Es por esto que el número tiene mucha importancia en la solución de ecuaciones cuadráticas. Se llama el discriminante de la ecuación.

Es importante encontrar la vía que muestra la equivalencia entre los distintos métodos para determinar las soluciones de una ecuación cuadrática.

Por ejemplo, si se tiene una ecuación del tipo

$\begin{displaymath} x^2+bx+c=0 \end{displaymath}$

(es decir, donde

), al aplicar la fórmula general se obtiene

$\begin{displaymath} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2} \end{displaymath}$

esto se puede transformar en la fórmula equivalente:

$\begin{displaymath} x=\frac{-b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2-4c}{4}} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} x=\frac{-b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c} \end{displaymath}$

Cuando se resuelve la misma ecuación

$\begin{displaymath} x^2+bx+c=0 \end{displaymath}$

a través de una completación de cuadrados, se hace lo siguiente:

$\begin{displaymath} x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2 = -c+\left(\frac{b}{2}\right)^2 \end{displaymath}$

Así, se obtiene del lado izquierdo de la igualdad el cuadrado perfecto, y la ecuación se transforma en:

$\begin{displaymath} \left(x+\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4}-c \end{displaymath}$

esto significa que

$\begin{displaymath} x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c} \end{displaymath}$

y finalmente, se obtiene

$\begin{displaymath} x=\frac{-b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c} \end{displaymath}$

El saber que esta fórmula es equivalente a la fórmula general en el caso en que

, nos garantiza que el método de la completación de cuadrados producirá las mismas soluciones que el uso de la fórmula general.

Aunque ya los babilonios, hace unos 4.000 años, conocían la manera de encontrar la solución positiva de una ecuación cuadrática del tipo

$\begin{displaymath} x^2-bx=c\;,\;\;\mbox{con}\; b>0, c>0 \end{displaymath}$

el método empleado era descrito en palabras al estilo de una receta y no se estableció la fórmula general que hoy conocemos, sino hasta el siglo XVI, cuando se introdujeron los símbolos necesarios para expresar fórmulas algebraicas.

La Función Cuadrática

Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la época llamada "La Edad de Oro" del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C. aproximadamente.

Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al Álgebra y la Trigonometría.

El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.

Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi

François Viète

En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.

Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue François Viète (1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4.

Así como el desplazamiento de un ciclista que viaja a velocidad constante, a través del tiempo, se puede describir mediante una función lineal, existen otros fenómenos que se describen matemáticamente a través de las funciones cuadráticas. Estas son todas las funciones que tienen la forma siguiente:

$\begin{displaymath} f(x) = ax^2+bx+c \end{displaymath}$

donde

son números reales, y $a\neq 0$ .

Por ejemplo, las siguientes son todas funciones cuadráticas:

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccll} f(x) & = & 3x^2-x+2 & (a=3,\; b=-1,\; ... ... \\ [.3cm] j(x) & = & x^2 & (a=1,\; b=0,\; c=0) \end{array} \end{displaymath}$

Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a través de una función cuadrática, es el siguiente: se lanza una pelota, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada por la pelota en cada segundo contado a partir del momento en que fue lanzada.

La función que permite obtener la altura de la pelota en cada segundo, es una función cuadrática que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento, de acuerdo a ciertas leyes de la Física.

Si se obtiene, en un caso específico, la función

$\begin{displaymath} f(x)=-2x^2+8x \end{displaymath}$

entonces, en el instante inicial (0 segundos transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir, tiene altura igual a cero:

$\begin{displaymath} f(0)=-2(0)^2+8(0)=0 \end{displaymath}$

Para saber cuál es la altura (en metros, por ejemplo, en este caso) de la pelota en el instante en que ha transcurrido 1 segundo, se hace y se calcula

$\begin{displaymath} f(1)=-2(1)^2+8(1)=-2+8=6 \end{displaymath}$

y cuando han transcurrido 2 segundos:

$\begin{displaymath} f(2)=-2(2)^2+8(2)=-8+16=8 \end{displaymath}$

Puede hacerse una tabla como la que se muestra a la derecha.


0	0
1	6
2	8
3	6
4	0

De la gráfica de la interactividad anterior pueden inferirse varias cosas acerca del fenómeno en cuestión, entre ellas:

1) La pelota vuelve a caer al suelo a los 4 segundos de haber sido lanzada.

2) La altura máxima la alcanza al haber transcurrido 2 segundos a partir de su lanzamiento.

3) La velocidad de la pelota va disminuyendo desde que es lanzada hasta que llega a 8 metros de altura (a los 2 segundos de su lanzamiento). Esto se puede ver al calcular la cantidad de metros que subió desde el segundo 0 hasta el segundo 1, que es metros, y compararla con la cantidad de metros que subió entre los segundos 1 y 2:: $\begin{displaymath} f(2)-f(1)=8-6=2\;\mbox{metros} \end{displaymath}$

Luego ocurre algo curioso, entre los segundos 2 y 3, la pelota comienza a descender y recorre exactamente 2 metros:

$\begin{displaymath} f(2)-f(3)=8-6=2\;\mbox{metros} \end{displaymath}$

Y entre los segundos 3 y 4 vuelve a recorrer la distancia que recorrió en el primer segundo:

$\begin{displaymath} f(3)-f(4)=6-0=6\;\mbox{metros.} \end{displaymath}$

esto se refleja gráficamente en la simetría de la curva con respecto a la recta vertical .

Decir que esta curva es simétrica respecto a la recta , significa que si se rotara el plano tomando la recta como eje, de manera que todo lo que está a la izquierda de la recta pase a la derecha y viceversa, se obtendría una curva idéntica a la original.

En otras palabras, si un observador imaginario, diminuto, se situara en algún punto de la recta, lo que vería de la curva al mirar hacia la izquierda, sería idéntico a lo que vería a su derecha.

En términos algebraicos, se tiene que la imagen, por medio de la función , de dos números que estén a la derecha y a la izquierda de 2 y a la misma distancia de 2, debe ser la misma.

Por ejemplo, los números $\frac{1}{2}$ y $\frac{7}{2}$ son equidistantes de 2, pues

$\begin{displaymath} 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \qquad\mbox{y}\qquad \frac{7}{2}-2=\frac{3}{2} \end{displaymath}$

Y sus imágenes son iguales:

$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{2}\right) & = & -2\left(\frac{1}{2}\right)^2 ... ...frac{7}{2}\right)^2 + 8\left( \frac{7}{2}\right) = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

Ejercicio: comprueba algebraicamente la simetría respecto a la recta , de la curva representada, tomando varias parejas de números equidistantes del 2 y calculando sus imágenes.

La curva obtenida es una parte de una curva llamada parábola; todas las funciones cuadráticas tienen como representación gráfica en el plano cartesiano, una parábola.

Ejemplos de funciones cuadráticas

1.-

2.-

3.-

4.-

En una parábola se distinguen algunos elementos importantes:

El vértice.

Es el punto de ordenada mínima si la parábola abre hacia arriba, y es el de ordenada máxima si abre hacia abajo.

En los ejemplos anteriores, los vértices son

1) $\;\left(\displaystyle \frac{-1}{4},\displaystyle \frac{-25}{8}\right)$ 2) $\; (0,3)$ 3) $\; (-1,2)$ 4) $\; (3,1)$

en general, si una función cuadrática tiene la expresión

$\begin{displaymath}f(x)=ax^2+bx+c\;,\end{displaymath}$

las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente son:

$\begin{displaymath} \left(\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}\right) \end{displaymath}$

Ejercicio:

Comprueba que los vértices de las cuatro parábolas dadas corresponden a los puntos dados, haciendo el cálculo de las coordenadas

$\begin{displaymath}\left( \displaystyle \frac{-b}{2a},c-\displaystyle \frac{b^2}{4a} \right)\end{displaymath}$

en cada caso.

Los puntos de corte con los ejes.

Con el eje de las ordenadas hay un solo punto de corte. No puede haber más de uno cuando la parábola representa a una función cuadrática, puesto que el punto de corte con el eje de las ordenadas es el punto cuyas coordenadas son . Entre las propiedades de una función está la que asegura la unicidad de la imagen de cada elemento.

Por ejemplo, en la función (1), , el punto de corte con el eje de las ordenadas es , donde

$\begin{displaymath} f(0)=2(0)^2+0-3=-3 \end{displaymath}$

es decir, es el punto

Este punto está muy cerca del vértice, pero no coincide con él.

En la función (2), , el punto de corte con el eje de las ordenadas sí coincide con el vértice, pues

$\begin{displaymath} f(0)=3 \end{displaymath}$

y por lo tanto el punto es

Para encontrar los puntos de corte con el eje de las abscisas, hay que observar lo siguiente: puede haber un sólo punto de corte, dos puntos de corte, o ninguno.

Para reflexionar: observando las gráficas de las funciones cuadráticas propuestas como los ejemplos 1, 2, 3 y 4, intenta explicar por qué es posible que alguna de esas tres situaciones ocurra, y por qué no podría haber más de dos cortes con el eje de las abscisas.

Si se busca el punto de corte con el eje de las abscisas de una parábola que representa a la función

$\begin{displaymath}f(x)=ax^2+bx+c\;,\end{displaymath}$

en realidad se quiere saber cuál es el (o los) números

que satisfacen

, pues todo punto de la parábola tiene coordenadas

, y si uno de estos puntos está sobre el eje de las abscisas, será de la forma

Pero decir que es lo mismo que decir:

$\begin{displaymath} ax^2+bx+c=0 \end{displaymath}$

Las soluciones de esta ecuación cuadrática pueden ser 2 distintas, 1 solución doble, o ninguna real. .

Los ejemplos 1 y 3 anteriores muestran parábolas con dos puntos de corte con el eje de las abscisas.

Los ejemplos 2 y 4 son parábolas sin cortes con el eje de las abscisas.

En el caso de la función 1, se obtiene la ecuación cuadrática

$\begin{displaymath} 2x^2+x-3=0 \end{displaymath}$

Esta se puede resolver aplicando la fórmula general:

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ [.5cm] x & = & \... ...{-3}{2} \\ [.5cm] x_2 & = & \frac{-1+5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \end{eqnarray*}$

También se podría, para resolver la ecuación, utilizar la expresión factorizada del trinomio

$\begin{displaymath} 2x^2+x-3=(x-1)(2x+3) \end{displaymath}$

Si se desean determinar las soluciones de

$\begin{displaymath} (x-1)(2x+3)=0 \end{displaymath}$

basta con observar que, para que un producto sea igual a 0, uno de los factores (al menos) debe ser igual a 0. Así, se obtienen las dos ecuaciones

$\begin{displaymath} x-1=0\;,\quad \mbox{luego $\; x=1$} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} 2x+3=0\;,\quad \mbox{luego $\; x=\displaystyle \frac{-3}{2}$} \end{displaymath}$

Las parábolas de los ejemplos 2 y 4 no tienen puntos de corte con el eje de las abscisas, porque el discriminante es negativo en ambos casos:

2

4

Eso nos indica que las ecuaciones

$\begin{displaymath} 3+x^2=0 \qquad\mbox{y}\qquad x^2-6x+10=0 \end{displaymath}$

Polinomios

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo , con , , aunque estos símbolos ( ) no se usaban entonces.

Babilonios

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma , donde , , pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma

$\begin{displaymath} ax^3+bx^2+cx+d=0\;, \end{displaymath}$

donde , , y son números cualesquiera, y $a\neq 0$ .

Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.

La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.

Scipione del Ferro

Girolamo Cardano

Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".

El episodio completo fue más bien trágico para sus protagonistas. En aquellos tiempos, cuando un matemático descubría algo importante, trataba de guardarlo en secreto, para poder enfrentarse en "duelos matemáticos" con otros, y vencer. Resulta que estos duelos eran una especie de torneo o debate público, en el cual dos matemáticos se retaban mutuamente a resolver problemas planteados por ellos. Se proponían los problemas y se efectuaba el duelo unos 15 días después. Asistía el público y también las autoridades locales, y el perdedor en un duelo de estos podía llegar a perder hasta su empleo en una importante Universidad, como consecuencia del desprestigio.

El caso fue que Scipione del Ferro guardó su secreto hasta poco antes de su muerte, cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos: Annibale della Nave y Antonio María Fiore.

Este último decidió retar a Tartaglia, quien era profesor de Matemáticas en Venecia, para un duelo. Le propuso 30 problemas, los cuales requerían de la solución de ecuaciones cúbicas. Tartaglia propuso a Fiore otros problemas variados y se dedicó por 15 días a trabajar sobre la ecuación de tercer grado hasta lograr encontrar su solución. En el duelo, Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por su parte, no pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y fue declarado perdedor. A su vez, Tartaglia guardó celosamente el secreto de su descubrimiento, a pesar de que Girolamo Cardano, interesado en conocerlo, trató, por 4 años, de acercarse a él para que compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica.

Nicolo Fontana Tartaglia

Finalmente, logró Cardano su objetivo, jurando a Tartaglia solemnemente que jamás lo divulgaría. Pero 3 años más tarde, en 1542, Cardano logra obtener permiso para estudiar los escritos del difunto Ferro, y luego decide, en 1545, publicar la obra "Ars Magna", que contenía, entre otros importantes descubrimientos matemáticos, la solución de la ecuación cúbica. Aunque, en su publicación, Cardano reconoce el mérito de Ferro y Tartaglia en ese descubrimiento, Tartaglia nunca lo perdonó por faltar a su juramento.

Tras un año de polémicas, Tartaglia acepta un reto de un alumno de Cardano para un "duelo matemático", en el cual resulta perdedor. Perdió su trabajo de profesor en la Universidad de Brescia y murió 9 años después, humilde, en Venecia.

El desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido impulsado principalmente por el interés en resolver ecuaciones. Ecuaciones lineales o de grado 1 (del tipo ), ecuaciones cuadráticas o de grado 2 (del tipo ), ecuaciones cúbicas ó de grado 3
(del tipo ) y ecuaciones de cualquier grado, en general.

Asociadas a las ecuaciones, se definen:

Funciones lineales
funciones cuadráticas
funciones cúbicas

En todos estos casos, las letras , , y representan números cualesquiera; por ejemplo:

$\begin{displaymath} f(x) \;=\; 3x^3-2x^2+1 \end{displaymath}$

es una función cúbica, donde

. Estos números son llamados los coeficientes de la expresión

A veces, los coeficientes se denotan con las letras , , , , etc., y se expresan así:

Funciones lineales	$\begin{displaymath} f(x) \;=\; a_1x+a_0 \end{displaymath}$
funciones cuadráticas	$\begin{displaymath} f(x) \;=\; a_2x^2+a_1x+a_0 \end{displaymath}$
funciones cúbicas	$\begin{displaymath} f(x) \;=\; a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{displaymath}$

Esto permite identificar a cada coeficiente con la potencia de la a la cual acompaña: acompaña a , a , a y a , pues $a_0=a_0\cdot 1=a_0\cdot x^0$ . Este último término se denomina término independiente.

En general, pueden definirse funciones similares, colocando cualquier número entero positivopero con el mayor exponente de la siendo .

Por ejemplo:

$\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^7+3x^6-5x^5+4x^3+2x-1 \\ g(x) & = & 2x^{10}-8x^4+\displaystyle \frac{x^3}{3} - 2x^2-6 \end{eqnarray*}$

Los coeficientes de son:

Los de son:

Todas estas funciones son llamadas funciones polinómicas. El grado de una función polinómica es el mayor exponente al cual está elevada la .

por ejemplo, el grado de es 7.

Para que una función sea polinómica, los exponentes de la deben ser todos enteros positivos, o cero. Si hay exponentes fraccionarios o negativos, ya no se trata de una función polinómica.

Por ejemplo:

$\begin{displaymath} f(x)\;=\; -10x^4+3x^2+\sqrt{2} \end{displaymath}$

es una función polinómica, mientras que

$\begin{displaymath} g(x)\;=\; \frac{4}{x}+x^{17}-6 \end{displaymath}$

no lo es, porque el término $\frac{4}{x}$ equivale a $4\cdot x^{-1}$ , y cuando hay exponentes negativos en la variable

, ya no se trata de una función polinómica.

En el caso de

, aunque aparece $\sqrt{2}$ como el coeficiente de

y $\sqrt{2}=2^{1/2}$ , ese exponente fraccionario no está sobre la variable

, sino sobre un coeficiente; por lo tanto

es una función polinómica.

Si la expresión de una función polinómica consta de un solo término, esa expresión se llama monomio:

es un monomio.

Si la expresión consta de 2 términos, se llama binomio: es un binomio (la suma de dos monomios). En el caso de tratarse de una función como la siguiente:

$\begin{displaymath} f(x)\;=\; 4x^6+5x-2 \end{displaymath}$

se dice entonces que

es un trinomio (la suma de 3 monomios).

Cuando hay más de 3 términos, sencillamente llamamos polinomio a la expresión dada. Por ejemplo

$\begin{displaymath} f(x)\;=\; -7x^2+5x^6+10x^3+8x-1 \end{displaymath}$

es un polinomio. Más precisamente, podemos decir que todas las expresiones del tipo

$\begin{displaymath} a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \end{displaymath}$

son polinomios.

Los monomios, binomios y trinomios son polinomios especiales con sólo 1,2 ó 3 términos respectivamente.

Suma de Polinomios

Los polinomios son expresiones que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir; para dar un ejemplo de una suma de polinomios, se tomarán los polinomios

$\begin{eqnarray*} f(x) & = & 3x^2+4x-1 \\ g(x) & = & 5x^5-4x^4 \end{eqnarray*}$

en este caso,

es de grado 5 y

de grado 2. Los coeficientes de

son:

. Los de

son:

Para sumar , se suman los coeficientes de un mismo grado, y para eso se puede escribir:

Entonces, el polinomio resultante es

$\begin{displaymath} f(x)+g(x) \;=\; 5x^5-4x^4+3x^2+4x-1 \end{displaymath}$

Una manera distinta de sumar estos dos polinomios es la siguiente:

se colocan uno debajo del otro, con cada monomio debajo del que tiene su mismo grado. Para eso, se deben colocar todos los monomios de grados 0,1,2,3,4,5, en ambos polinomios, algunos de ellos con coeficiente 0:

en este caso, la suma es muy sencilla. Los polinomios y no tienen monomios del mismo grado, pues tiene monomios de grado 0,1 y 2, y tiene monomios de grados 4 y 5.

No tienen lo que se denomina "términos semejantes". Estos son monomios del mismo grado. Por eso, para sumar basta con "añadir" los monomios que componen a a los de :

$\begin{displaymath} f(x)+g(x) \;=\; 3x^2+4x-1+5x^5-4x^4 \end{displaymath}$

Luego se pueden ordenar los monomios de acuerdo a su grado:

$\begin{displaymath} f(x)+g(x) \;=\; 5x^5-4x^4+3x^2+4x-1 \end{displaymath}$

en la siguiente suma, sí hay términos semejantes:

$\begin{eqnarray*} h(x) & = & 3x^3-7x^6+4x^2+x-2 \\ p(x) & = & 2x^2+4x^5+6x^6-x^3+2x-1 \end{eqnarray*}$

Es bueno ordenar los monomios por grado (de mayor a menor), y colocar los que faltan, con coeficiente cero:

$\begin{eqnarray*} h(x) & = & -7x^6+0x^5+0x^4+3x^3+4x^2+x-2 \\ p(x) & = & 6x^6+4x^5+0x^4-x^3+2x^2+2x-1 \end{eqnarray*}$

Ahora se suman los coeficientes de los términos semejantes:haz click aquí para ver los polinomios

Resta de Polinomios.

Una resta de dos polinomios no es más que la suma de un polinomio más el opuesto del otro. Tal como ocurre con losnúmeros enteros , el opuesto de un polinomio es aquel que, sumado a él, da cero. Por ejemplo:

$\begin{eqnarray*} p(x) & = & x^2+2x-1 \\ -p(x) & = & -x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$

pues $p(x)+\Big(-p(x)\Big)=x^2+2x-1-x^2-2x+1=0$ .

El polinomio opuesto a es y se obtiene sencillamente cambiando de signo a todos los monomios de .

Los monomios de son:

cuando se deba restar un polinomio de otro: , lo que se hace es sumar más el opuesto de :

$\begin{eqnarray*} p(x) & = & x^2+2x-1 \\ q(x) & = & 3x^4-x^2+6x \\ [.35cm] p(x)... ...\Big) \;=\; (x^2+2x-1)+(-3x^4+x^2-6x) \\ & = & -3x^4+2x^2-4x-1 \end{eqnarray*}$

Otro ejemplo:

$\begin{eqnarray*} f(x) & = & 3x^3-5x^2+2x+1 \\ h(x) & = & 7x^2-x+6 \\ [.35cm] f... ...x) & = & (3x^3-5x^2+2x+1)+(-7x^2+x-6) \\ & = & 3x^3-12x^2+3x-5 \end{eqnarray*}$

Para reflexionar:

Si y el grado del polinomio es 2, ¿cuál es el grado del polinomio ? ¿Es posible que tenga un monomio de grado 3? ¿y de grado 1?

El grado del polinomio es 4 y si el de es 2, entonces tiene un monomio de grado 4, que es pues esa es la única manera de que no tenga un monomio de grado 4 (se cancelarán ).

Como tiene grado 2, tampoco tiene monomios de grado mayor que 4, así que el grado de es 4. Si tuviera un monomio de grado 3, aparecería con el signo opuesto en , y el grado de sería 3; como en realidad es 2, entonces no tiene un monomio de grado 3.

Finalmente, podría tener un monomio de grado 1, porque tiene grado 2 y puede tener un monomio de grado 1.

Multiplicación de Polinomios.

Si se tienen dos polinomios muy simples, por ejemplo, dos monomios, el producto de ellos dos es muy fácil de calcular. Por ejemplo:

$\begin{eqnarray*} p(x) & = & x^3 \\ q(x) & = & 4x^2 \\ p(x)\cdot q(x) & = & x^3\cdot 4x^2 \;=\; (1\cdot 4)(x^3\cdot x^2) \;=\; 4x^5 \end{eqnarray*}$

Simplemente, se usa la propiedad de la potenciación que dice que, al multiplicar dos potencias con igual base, se obtiene otra potencia, con la misma base y con exponente igual a la suma de los dos exponentes:

$\begin{displaymath} x^3\cdot x^2 \;=\; x^{3+2}. \end{displaymath}$

Por otra parte, los coeficientes de los monomios se multiplican, como en este ejemplo: $1\cdot 4=4$ . Otro ejemplo:

$\begin{displaymath} (-3x^5)\cdot (2x^3) \;=\; (-3\cdot 2)(x^5\cdot x^3) \;=\; -6x^{5+3} \;=\; -6x^8. \end{displaymath}$

Además, todo monomio se puede expresar como producto de otros dos, por ejemplo:

$\begin{displaymath} -3x^5 \;=\; (3x)(-x^4) \end{displaymath}$

El proceso de encontrar dos o más polinomios que al multiplicarse permitan obtener el polinomio original se denomina factorización de polinomios.

Factorizar monomios es muy sencillo, y si el grado del monomio es mayor que 1, hay varias maneras de factorizarlo, por ejemplo:

$\begin{displaymath} -3x^5 \;=\; (3x)(-x^4) \end{displaymath}$

pero también

$\begin{eqnarray*} -3x^5 & = & (-3x^2)(x^3) \\ [.3cm] -3x^5 & = & (x^4)(-3x) \\ ... ...] -3x^5 & = & \left(\displaystyle \frac{3}{2}x^3\right)(-2x^2) \end{eqnarray*}$